\( 6 x ^ { 2 } + 7 x y - 3 y ^ { 2 } . \)

Identificamos el polinomio: \[ 6x^2 + 7xy - 3y^2 \] Nuestro objetivo es factorizarlo como el producto de dos binomios: \[ (ax + by)(cx + dy) \] Al expandir, obtenemos: \[ ac\,x^2 + (ad + bc)xy + bd\,y^2 \] Comparando con el polinomio original, establecemos las siguientes condiciones: 1. \(ac = 6\) 2. \(ad + bc = 7\) 3. \(bd = -3\) Procedemos a determinar posibles valores de \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\). ### Paso 1. Elegir \(a\) y \(c\) De la condición \(ac = 6\), se pueden tomar los pares posibles \((a,\, c) = (2, 3)\) o \((3, 2)\). Probamos primero con: \[ a = 3 \quad \text{y} \quad c = 2. \] ### Paso 2. Determinar \(b\) y \(d\) con \(bd = -3\) Las parejas de números que multiplicados den \(-3\) son: \[ (b,\, d) = (1, -3) \quad \text{o} \quad (b,\, d) = (-1,\, 3). \] ### Paso 3. Evaluar la condición \(ad + bc = 7\) Utilizamos el par \((b,\, d) = (-1,\, 3)\): \[ ad + bc = 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7. \] La condición se cumple. ### Paso 4. Escribir la factorización Con \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 2\) y \(d = 3\), la factorización es: \[ (3x - y)(2x + 3y). \] ### Paso 5. Verificar la factorización Expandiendo el producto: \[ (3x - y)(2x + 3y) = 3x(2x) + 3x(3y) - y(2x) - y(3y) = 6x^2 + 9xy - 2xy - 3y^2 = 6x^2 + 7xy - 3y^2. \] La expansión coincide con el polinomio original. La respuesta final es: \[ (3x - y)(2x + 3y) \]