24. $$ f(x)=\frac{7 x^{3}+x}{6 \sqrt{x}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Paso 1: Escribir la función**

Dada la función

$$
f(x)=\frac{7x^3+x}{6\sqrt{x}},
$$

vamos a simplificarla.

---

**Paso 2: Separar los términos del numerador**

Podemos escribir la función como la suma de dos fracciones:

$$
f(x)=\frac{7x^3}{6\sqrt{x}}+\frac{x}{6\sqrt{x}}.
$$

---

**Paso 3: Simplificar cada término utilizando propiedades de exponentes**

Recordemos que $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$.

Para el primer término:

$$
\frac{7x^3}{6\sqrt{x}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{x^3}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{7}{6} x^{3-\frac{1}{2}} = \frac{7}{6} x^{\frac{5}{2}}.
$$

Para el segundo término:

$$
\frac{x}{6\sqrt{x}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{6} x^{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}}.
$$

---

**Paso 4: Escribir la función simplificada**

Sumando los dos términos obtenidos, la función simplificada es:

$$
f(x)=\frac{7}{6} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}}.
$$

También se puede factorizar $$x^{\frac{1}{2}}$$:

$$
f(x)=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{6}\left(7x^2+1\right).
$$
La función simplificada es $$ f(x) = \frac{7}{6} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} $$ o $$ f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6}(7x^2 + 1) $$.

24. \( f(x)=\frac{7 x^{3}+x}{6 \sqrt{x}} \)

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