Dada la ecuación de movimiento \( t \cos (x)=x+1 \), encuentra: - La velocidad \( \left(\frac{d x}{d t}\right) \) para \( t=1 \operatorname{seg} y x=2 \mathrm{~m} \)

Para encontrar la velocidad \( \frac{dx}{dt} \) a partir de la ecuación de movimiento \( t \cos(x) = x + 1 \), utilizaremos la regla de la diferenciación implícita. 1. **Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo \( t \)**: \[ \frac{d}{dt}(t \cos(x)) = \frac{d}{dt}(x + 1) \] Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena, obtenemos: \[ \cos(x) + t(-\sin(x))\frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt} \] Simplificando, tenemos: \[ \cos(x) - t \sin(x) \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt} \] 2. **Reorganizamos la ecuación para despejar \( \frac{dx}{dt} \)**: \[ \cos(x) = \frac{dx}{dt} + t \sin(x) \frac{dx}{dt} \] Factorizando \( \frac{dx}{dt} \): \[ \cos(x) = \frac{dx}{dt}(1 + t \sin(x)) \] Por lo tanto, podemos despejar \( \frac{dx}{dt} \): \[ \frac{dx}{dt} = \frac{\cos(x)}{1 + t \sin(x)} \] 3. **Sustituimos los valores \( t = 1 \) y \( x = 2 \)**: Primero, calculamos \( \cos(2) \) y \( \sin(2) \): \[ \cos(2) \approx -0.4161 \quad \text{y} \quad \sin(2) \approx 0.9093 \] Ahora sustituimos en la fórmula: \[ \frac{dx}{dt} = \frac{\cos(2)}{1 + 1 \cdot \sin(2)} = \frac{-0.4161}{1 + 0.9093} = \frac{-0.4161}{1.9093} \] Calculamos el valor: \[ \frac{dx}{dt} \approx -0.217 \] Por lo tanto, la velocidad \( \frac{dx}{dt} \) para \( t = 1 \) seg y \( x = 2 \) m es aproximadamente \( -0.217 \, \text{m/s} \).