$$ \cos ^ { 2 } x ( 1 + \operatorname { tag } ^ { 2 } x ) = 1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Usamos la identidad trigonométrica
   $$
   1 + \tan^2 x = \sec^2 x \, .
   $$

2. Sustituimos en la ecuación:
   $$
   \cos^2 x \left(1 + \tan^2 x\right) = \cos^2 x \cdot \sec^2 x \, .
   $$

3. Recordamos que
   $$
   \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \, ,
   $$
   por lo que
   $$
   \cos^2 x \cdot \sec^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 1 \, .
   $$

4. La igualdad $$ 1 = 1 $$ se cumple para todo $$ x $$ donde las expresiones están definidas, es decir, para todo $$ x $$ tal que $$\cos x \neq 0$$.

5. La condición $$\cos x \neq 0$$ se verifica cuando
   $$
   x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{con} \quad k \in \mathbb{Z} \, .
   $$

Por lo tanto, la solución es: todos los $$ x \in \mathbb{R} $$ tales que
$$
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \, .
$$
La ecuación $$ \cos^2 x (1 + \tan^2 x) = 1 $$ se cumple para todos los valores de $$ x $$ donde $$ \cos x \neq 0 $$, es decir, para $$ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $$ con $$ k $$ entero.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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