(iv) Trovare, se esiste, un piano passante per \( P(-1,0,1) \) e parallelo alle rette \( s_{1}:\left\{\begin{array}{l}x-2 z=0 \\ y+z=0\end{array} \quad\right. \) e \( s_{2}:\left\{\begin{array}{l}x+z=0 \\ y-z=0 .\end{array}\right. \) (iii) Trovare nello spazio due rette sghembe \( r_{1} \) e \( r_{2} \) tali che \( d\left(r_{1}, r_{2}\right)=1 \) e tali che la perpendicolare comune ad \( r_{1} \) e \( r_{2} \) sia la retta \( s:\left\{\begin{array}{l}z=0 \\ y=2 .\end{array} \quad\right. \) (Suggerimento: un grafico può aiutare.) SvolaImento \& Un piano siffatto deve essere parallelo sia alla retta \( r \) che al piano \( \pi \). Ne segue che \( r \) e \( \pi \) devono essere paralleli a loro volta. Ma così non è giacché

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi richiesti. ### (iv) Trovare un piano passante per \( P(-1,0,1) \) e parallelo alle rette \( s_{1} \) e \( s_{2} \) 1. **Identificazione delle rette**: - La retta \( s_{1} \) è definita dalle equazioni: \[ \begin{cases} x - 2z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases} \] - La retta \( s_{2} \) è definita dalle equazioni: \[ \begin{cases} x + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} \] 2. **Troviamo i vettori direzionali delle rette**: - Per \( s_{1} \): - Risolvendo \( x = 2z \) e \( y = -z \), possiamo parametrizzare la retta come: \[ \mathbf{r_1}(t) = (2t, -t, t) \] Il vettore direzionale è \( \mathbf{d_1} = (2, -1, 1) \). - Per \( s_{2} \): - Risolvendo \( x = -z \) e \( y = z \), possiamo parametrizzare la retta come: \[ \mathbf{r_2}(t) = (-t, t, t) \] Il vettore direzionale è \( \mathbf{d_2} = (-1, 1, 1) \). 3. **Calcoliamo il prodotto vettoriale per trovare il normale al piano**: \[ \mathbf{n} = \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2} \] Calcoliamo il prodotto vettoriale: \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] Calcolando il determinante, otteniamo: \[ \mathbf{n} = \mathbf{i}((-1)(1) - (1)(1)) - \mathbf{j}((2)(1) - (1)(-1)) + \mathbf{k}((2)(1) - (-1)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(2 + 1) + \mathbf{k}(2 - 1) \] \[ = -2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \] Quindi, \( \mathbf{n} = (-2, -3, 1) \). 4. **Equazione del piano**: L'equazione del piano che passa per il punto \( P(-1, 0, 1) \) e ha come normale \( \mathbf{n} \) è data da: \[ -2(x + 1) - 3(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \] Semplificando, otteniamo: \[ -2x - 2 - 3y + z - 1 = 0 \implies -2x - 3y + z - 3 = 0 \] Quindi, l'equazione del piano è: \[ 2x + 3y - z + 3 = 0 \] ### (iii) Trovare due rette sghembe \( r_{1} \) e \( r_{2} \) tali che \( d(r_{1}, r_{2}) = 1 \) 1. **Definizione delle rette**: Sia \( r_{1} \) e \( r_{2} \) due rette sghembe. La retta \( s \) è definita da: \[ \begin{cases} z = 0 \\ y = 2 \end{cases} \] Questo implica che la retta \( s \) è parallela all'asse \( x \) nel piano \( y = 2 \). 2. **Parametrizzazione delle rette**: - Scegliamo \( r_{1} \) come: \[ r_{1}(t) = (t, 2, 0) \] - Scegliamo \( r_{2} \) come: \[ r_{2}(t) = (0, 2, t) \] 3. **Calcolo della distanza**: La distanza tra due punti \( A(x_1, y_1, z_1) \) e \( B(x_2, y_2, z_2) \) è data da: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Scegliamo \( A(1, 2, 0) \) su \( r_{1} \) e \( B(0, 2, 1) \) su \( r_{2} \): \[ d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] Per ottenere una distanza di 1, possiamo modificare le parametrizzazioni delle rette. 4. **Nuove parametrizzazioni**: - Scegliamo \( r_{1} \) come: \[ r_{1}(t) = (t, 2, 0) \] - Scegliamo \( r_{2} \) come: \[ r_{2}(t) = (0, 2, t) \] - Per \( t = 1 \) su \( r_{1} \) e \( t = 0 \) su \( r_{2} \): \[ A(1, 2, 0) \quad B(0, 2, 0) \] - La distanza è: \[ d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1} = 1 \] ### Risultato finale Le rette sg