35 Troba el lloc geométric dels punts del pla, \( P \), en què la suma de quadrats de les distàncies als punts \( A(-4,0) \) i \( B(4,0) \) és 40 . 36 Calcula l'equació del lloc geométric dels punts del pla, \( P \), tals que la seva distància al punt \( A(1,0) \) és el triple de la seva distància a la recta \( x=2 \). Identifica la figura que ob- tens.

Se presentan a continuación ambas soluciones. ─────────────────────────────── 35) Lugar geométrico de los puntos P donde   d²(P, A) + d²(P, B) = 40 con A(-4, 0) y B(4, 0). Sea P = (x, y). Se tiene:   d²(P, A) = (x + 4)² + y²   d²(P, B) = (x – 4)² + y² Por tanto, la condición es:   (x + 4)² + y² + (x – 4)² + y² = 40 Desarrollamos ambos términos cuadráticos:   (x + 4)² = x² + 8x + 16   (x – 4)² = x² – 8x + 16 Sustituyendo:   [x² + 8x + 16 + y²] + [x² – 8x + 16 + y²] = 40   2x² + 2y² + 32 = 40 Restamos 32 a ambos lados y dividimos entre 2:   x² + y² = (40 – 32)/2 = 8/2 = 4 Por tanto, el lugar geométrico es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2, cuya ecuación es:   x² + y² = 4 ─────────────────────────────── 36) Lugar geométrico de los puntos P tales que   d(P, A) = 3 · d(P, recta x = 2) con A(1, 0). Sea P = (x, y). Se tiene:   d(P, A) = √[(x – 1)² + y²]   d(P, recta x = 2) = |x – 2| La condición se expresa como:   √[(x – 1)² + y²] = 3 · |x – 2| Para eliminar la raíz y el valor absoluto, elevamos al cuadrado ambos lados (notando que ambos miembros son no negativos):   (x – 1)² + y² = 9 (x – 2)² Esta es la ecuación del lugar geométrico. Desarrollémosla para examinar su forma: 1. Expandir:   (x – 1)² = x² – 2x + 1   (x – 2)² = x² – 4x + 4 La ecuación queda:   x² – 2x + 1 + y² = 9x² – 36x + 36 2. Llevar todos los términos al mismo lado:   x² – 2x + 1 + y² – 9x² + 36x – 36 = 0   (–8x²) + 34x – 35 + y² = 0   Reescribiendo: 8x² – 34x + 35 – y² = 0 o equivalentemente:   y² = 8x² – 34x + 35 Observa que el término en y² tiene signo opuesto al de x²; esto indica que la cónica obtenida es una hipérbola. De forma resumida, la ecuación del lugar geométrico es:   (x – 1)² + y² = 9 (x – 2)² y tras su manipulación se llega a la forma general de una hipérbola. Por tanto, el lugar geométrico de los puntos P tales que la distancia a A(1, 0) es triple de la distancia a la recta x = 2 es una HIPÉRBOLA (definida por la condición d(P, A) = 3·d(P, recta)). ─────────────────────────────── Resúmen de respuestas: 35) La ecuación del lugar es:   x² + y² = 4 (una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2). 36) La ecuación del lugar es:   (x – 1)² + y² = 9(x – 2)² La cónica definida es una hipérbola.