\[ \int_{0}^{4}|x-2| d x \] integralinin değeri kaçtır? \( \begin{array}{lll}\text { A) } 0 & \text { B) } 2 & \text { C) } 4\end{array} \)

İlk olarak, integralin içinde mutlak değer işlevi olduğu için, \( |x-2| \) ifadesini incelememiz gerekiyor. \( x = 2 \) noktasında değişim gösterir. Bu nedenle, integrali \( [0, 2] \) ve \( [2, 4] \) alt aralıklarına ayırmalıyız. - \( 0 \leq x < 2 \) için \( |x-2| = 2-x \) - \( 2 \leq x \leq 4 \) için \( |x-2| = x-2 \) Bu durumda integral iki kısma ayrılır: \[ \int_{0}^{4}|x-2| dx = \int_{0}^{2}(2-x) dx + \int_{2}^{4}(x-2) dx \] İlk kısmı çözelim: \[ \int_{0}^{2}(2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = [4 - 2] - [0] = 2 \] İkinci kısım: \[ \int_{2}^{4}(x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{4} = [8 - 8] - [2 - 4] = 0 + 2 = 2 \] Sonuç olarak, her iki kısımdan gelen integral değerlerini toplarsak: \[ \int_{0}^{4}|x-2| dx = 2 + 2 = 4 \] Cevap: \( C) 4 \)