Pregunta
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8. Maria, Ángela, Juan y Gustavo son amigos. Se sabe que Ángela y Juan tienen la misma edad, Gustavo es el mayor de todos y Maria es la mas joven de los cuatro. Bajo estas condiciones, si se define la relación " \( x \) es de menor edad que y" del conjunto A en el conjunto A, resuelve. - Escribe las parejas ordenadas que representen la relación. - Realiza un grafo de la relación. - Explicas por que la relación no es una función.

Ask by Garza Pearson. in Colombia
Mar 09,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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1. **Conjunto de elementos y relaciones de edad** - Conjunto \( A = \{ \text{María}, \text{Ángela}, \text{Juan}, \text{Gustavo} \} \) - Relaciones: - María < Ángela - María < Juan - María < Gustavo - Ángela < Gustavo - Juan < Gustavo 2. **Parejas ordenadas** - (María, Ángela) - (María, Juan) - (María, Gustavo) - (Ángela, Gustavo) - (Juan, Gustavo) 3. **Grafo de la relación** - Nodos: María, Ángela, Juan, Gustavo - Flechas: - María → Ángela - María → Juan - María → Gustavo - Ángela → Gustavo - Juan → Gustavo 4. **Razón por la que no es una función** - En la relación, María está relacionada con tres elementos (Ángela, Juan, Gustavo), lo que viola la unicidad requerida en una función.

Solución

1. **Determinar el conjunto de elementos y sus relaciones de edad** Sea el conjunto \( A = \{ \text{María}, \text{Ángela}, \text{Juan}, \text{Gustavo} \}\). Condiciones dadas: - Ángela y Juan tienen la misma edad. - Gustavo es el mayor. - María es la más joven. Esto implica el siguiente orden (excepto la relación entre Ángela y Juan, que no puede establecerse en la relación "menor que" al tener igual edad): \[ \text{María} < \text{Ángela} \quad \text{y} \quad \text{María} < \text{Juan} \] \[ \text{Ángela} < \text{Gustavo} \quad \text{y} \quad \text{Juan} < \text{Gustavo} \] Además, se tiene: \[ \text{María} < \text{Gustavo} \] 2. **Escribir las parejas ordenadas que representan la relación " \( x \) es de menor edad que \( y \)"** La relación incluye todos los pares \((x,y)\) donde \(x\) es estrictamente menor que \(y\). Así, se tienen: - Desde María: \[ (\text{María}, \text{Ángela}), \quad (\text{María}, \text{Juan}), \quad (\text{María}, \text{Gustavo}) \] - Desde Ángela: \[ (\text{Ángela}, \text{Gustavo}) \] (No se incluye \((\text{Ángela}, \text{Juan})\) ya que tienen la misma edad.) - Desde Juan: \[ (\text{Juan}, \text{Gustavo}) \] - Desde Gustavo: No hay ningún \(y\) tal que \( \text{Gustavo} < y \) porque es el mayor. Así, la relación queda definida como: \[ R = \{ (\text{María}, \text{Ángela}),\ (\text{María}, \text{Juan}),\ (\text{María}, \text{Gustavo}),\ (\text{Ángela}, \text{Gustavo}),\ (\text{Juan}, \text{Gustavo}) \} \] 3. **Realizar un grafo de la relación** El grafo se construye con los vértices (nodos) correspondientes a cada elemento en \( A \) y se colocan flechas dirigidas de \( x \) a \( y \) si \((x, y) \in R\). - Dibujar los nodos: \(\text{María},\ \text{Ángela},\ \text{Juan},\ \text{Gustavo}\) - Dibujar las flechas: - Desde María: \( \text{María} \to \text{Ángela} \) \( \text{María} \to \text{Juan} \) \( \text{María} \to \text{Gustavo} \) - Desde Ángela: \( \text{Ángela} \to \text{Gustavo} \) - Desde Juan: \( \text{Juan} \to \text{Gustavo} \) El grafo tendrá la siguiente estructura: \[ \begin{array}{ccc} & \xymatrix{ \text{María} \ar[dr] \ar[d] \ar[ddr] & \\ \text{Ángela} \ar[r] & \text{Gustavo} \\ \text{Juan} \ar[ur] & } \end{array} \] 4. **Explicar por qué la relación no es una función** Una función definida sobre \( A \) es una relación en la que a cada elemento \( x \in A \) le corresponde **únicamente** un elemento \( y \in A \). En nuestra relación " \( x \) es de menor edad que \( y \)", observamos lo siguiente: - Por ejemplo, a partir del elemento \(\text{María}\) se le asignan tres distintos elementos: \(\text{Ángela}\), \(\text{Juan}\) y \(\text{Gustavo}\). - Esto significa que \(\text{María}\) se asocia con más de un valor en \( A \). Debido a que el requisito de unicidad no se cumple para algunos elementos (es decir, no existe una correspondencia unívoca de \( x \) a \( y \)), se concluye que la relación no es una función.

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La relación " \( x \) es de menor edad que \( y \)" entre los amigos se puede representar con las siguientes parejas ordenadas, donde M = María, Á = Ángela, J = Juan, y G = Gustavo. Así, las parejas son: \( (M, Á) \), \( (M, J) \), \( (M, G) \), \( (Á, G) \), y \( (J, G) \). Esto muestra que María es menor que los demás, Ángela y Juan son iguales en edad, y ambos son menores que Gustavo. Para el grafo de la relación, puedes dibujar un círculo por cada amigo e interconectarlos con flechas que indiquen la relación de menor a mayor. Por ejemplo, desde M hacia Á, J y G, y desde Á y J hacia G. La relación no es una función porque, en una función, cada elemento del dominio (en este caso, las edades de los amigos) debe estar relacionado con exactamente un elemento del codominio. Aquí, tanto Ángela como Juan tienen la misma edad, lo que implica que hay dos amigos (Á y J) que cumplen con la misma condición respecto a Gustavo, violando la unicidad requerida en una función.

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