8. Maria, Ángela, Juan y Gustavo son amigos. Se sabe que Ángela y Juan tienen la misma edad, Gustavo es el mayor de todos y Maria es la mas joven de los cuatro. Bajo estas condiciones, si se define la relación " \( x \) es de menor edad que y" del conjunto A en el conjunto A, resuelve. - Escribe las parejas ordenadas que representen la relación. - Realiza un grafo de la relación. - Explicas por que la relación no es una función.

1. **Determinar el conjunto de elementos y sus relaciones de edad** Sea el conjunto \( A = \{ \text{María}, \text{Ángela}, \text{Juan}, \text{Gustavo} \}\). Condiciones dadas: - Ángela y Juan tienen la misma edad. - Gustavo es el mayor. - María es la más joven. Esto implica el siguiente orden (excepto la relación entre Ángela y Juan, que no puede establecerse en la relación "menor que" al tener igual edad): \[ \text{María} < \text{Ángela} \quad \text{y} \quad \text{María} < \text{Juan} \] \[ \text{Ángela} < \text{Gustavo} \quad \text{y} \quad \text{Juan} < \text{Gustavo} \] Además, se tiene: \[ \text{María} < \text{Gustavo} \] 2. **Escribir las parejas ordenadas que representan la relación " \( x \) es de menor edad que \( y \)"** La relación incluye todos los pares \((x,y)\) donde \(x\) es estrictamente menor que \(y\). Así, se tienen: - Desde María: \[ (\text{María}, \text{Ángela}), \quad (\text{María}, \text{Juan}), \quad (\text{María}, \text{Gustavo}) \] - Desde Ángela: \[ (\text{Ángela}, \text{Gustavo}) \] (No se incluye \((\text{Ángela}, \text{Juan})\) ya que tienen la misma edad.) - Desde Juan: \[ (\text{Juan}, \text{Gustavo}) \] - Desde Gustavo: No hay ningún \(y\) tal que \( \text{Gustavo} < y \) porque es el mayor. Así, la relación queda definida como: \[ R = \{ (\text{María}, \text{Ángela}),\ (\text{María}, \text{Juan}),\ (\text{María}, \text{Gustavo}),\ (\text{Ángela}, \text{Gustavo}),\ (\text{Juan}, \text{Gustavo}) \} \] 3. **Realizar un grafo de la relación** El grafo se construye con los vértices (nodos) correspondientes a cada elemento en \( A \) y se colocan flechas dirigidas de \( x \) a \( y \) si \((x, y) \in R\). - Dibujar los nodos: \(\text{María},\ \text{Ángela},\ \text{Juan},\ \text{Gustavo}\) - Dibujar las flechas: - Desde María: \( \text{María} \to \text{Ángela} \) \( \text{María} \to \text{Juan} \) \( \text{María} \to \text{Gustavo} \) - Desde Ángela: \( \text{Ángela} \to \text{Gustavo} \) - Desde Juan: \( \text{Juan} \to \text{Gustavo} \) El grafo tendrá la siguiente estructura: \[ \begin{array}{ccc} & \xymatrix{ \text{María} \ar[dr] \ar[d] \ar[ddr] & \\ \text{Ángela} \ar[r] & \text{Gustavo} \\ \text{Juan} \ar[ur] & } \end{array} \] 4. **Explicar por qué la relación no es una función** Una función definida sobre \( A \) es una relación en la que a cada elemento \( x \in A \) le corresponde **únicamente** un elemento \( y \in A \). En nuestra relación " \( x \) es de menor edad que \( y \)", observamos lo siguiente: - Por ejemplo, a partir del elemento \(\text{María}\) se le asignan tres distintos elementos: \(\text{Ángela}\), \(\text{Juan}\) y \(\text{Gustavo}\). - Esto significa que \(\text{María}\) se asocia con más de un valor en \( A \). Debido a que el requisito de unicidad no se cumple para algunos elementos (es decir, no existe una correspondencia unívoca de \( x \) a \( y \)), se concluye que la relación no es una función.