Un rombo ha un angolo acuto ampio $$ 60^{\circ} $$ e la diagonale minore che misura 32 cm . Calcola il perimetro e l'area del rombo. $$ \left[128 \mathrm{~cm}\right. $$; $$ 886,784 \mathrm{~cm}^{\prime} \mid $$

Question

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Consideriamo un rombo in cui:

- L'angolo acuto misura $$60^{\circ}$$.
- La diagonale minore (quella che attraversa l'angolo acuto) misura 32 cm.

In un rombo, se $$s$$ è la lunghezza del lato e $$\theta$$ l’angolo acuto, le diagonali sono date da:
$$
d_{\min} = 2s\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad \text{e} \quad d_{\max} = 2s\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
$$

**Passo 1 – Determinazione del lato $$s$$:**

Dalla formula per la diagonale minore $$\left(d_{\min} = 32 \text{ cm}\right)$$:
$$
2s\sin\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)=32
$$
Sapendo che $$\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$$ e $$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$$, si ha:
$$
2s\cdot\frac{1}{2} = s = 32 \text{ cm}
$$

**Passo 2 – Calcolo del perimetro:**

Il perimetro $$P$$ del rombo è:
$$
P=4s=4\times32=128 \text{ cm}
$$

**Passo 3 – Calcolo della diagonale maggiore $$d_{\max}$$:**

Utilizziamo la formula:
$$
d_{\max} = 2s\cos\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right) = 2\times32\cos 30^{\circ}
$$
Sapendo che $$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, abbiamo:
$$
d_{\max}= 64\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3} \text{ cm}
$$

**Passo 4 – Calcolo dell’area $$A$$:**

L’area del rombo si calcola con la formula:
$$
A=\frac{d_{\min}\cdot d_{\max}}{2}
$$
Sostituendo i valori trovati:
$$
A=\frac{32\cdot32\sqrt{3}}{2}=\frac{1024\sqrt{3}}{2}=512\sqrt{3} \text{ cm}^2
$$
Per avere un valore numerico approssimato, ricordiamo che $$\sqrt{3}\approx1,732$$:
$$
512\sqrt{3}\approx512\times1,732\approx886,784 \text{ cm}^2
$$

**Risultati finali:**

- Perimetro: $$128 \text{ cm}$$
- Area: $$512\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ (ossia, approssimativamente $$886,784 \text{ cm}^2$$)
Il rombo ha un perimetro di 128 cm e un'area di 886,784 cm².

Un rombo ha un angolo acuto ampio \( 60^{\circ} \) e la diagonale minore che misura 32 cm . Calcola il perimetro e l'area del rombo. \( \left[128 \mathrm{~cm}\right. \); \( 886,784 \mathrm{~cm}^{\prime} \mid \)

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