Resolver $$ \int\left(\frac{x^{2}+5 x+1}{x}\right) d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Dado que tenemos la integral

$$
\int \left( \frac{x^2 + 5x + 1}{x} \right) dx,
$$

lo primero es dividir término a término:

$$
\frac{x^2 + 5x + 1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{5x}{x} + \frac{1}{x} = x + 5 + \frac{1}{x}.
$$

La integral se puede escribir entonces como la suma de tres integrales:

$$
\int x\, dx + \int 5\, dx + \int \frac{1}{x}\, dx.
$$

Ahora, integramos cada término individualmente:

1. Para $$\int x\, dx$$, aplicamos la regla de potencia:

$$
\int x\, dx = \frac{x^2}{2}.
$$

2. Para $$\int 5\, dx$$, recordamos que la integral de una constante es la constante por la variable:

$$
\int 5\, dx = 5x.
$$

3. Para $$\int \frac{1}{x}\, dx$$, la integral es el logaritmo natural:

$$
\int \frac{1}{x}\, dx = \ln |x|.
$$

Sumando todos los resultados, obtenemos:

$$
\frac{x^2}{2} + 5x + \ln |x| + C,
$$

donde $$C$$ es la constante de integración.
La integral es $$ \frac{x^2}{2} + 5x + \ln |x| + C $$.

Resolver \( \int\left(\frac{x^{2}+5 x+1}{x}\right) d x \)