6. $$ \frac{x^{2}-4}{x-2}= $$ 7. $$ \frac{3 x^{2}-12}{x^{2}-4}= $$ 8. $$ \frac{x^{2}-9}{x^{2}-6 x+9}= $$ 9. $$ \frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}= $$ 10. $$ \frac{8 a^{3}+27}{4 a^{2}+12 a+9}= $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

6. Dado
$$
\frac{x^{2}-4}{x-2},
$$
se factoriza el numerador como diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
$$
Al cancelar el factor común $$(x-2)$$ (con $$x\neq 2$$), se obtiene
$$
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
$$

7. Dado
$$
\frac{3x^{2}-12}{x^{2}-4},
$$
se factoriza el numerador extrayendo el factor común 3:
$$
3x^{2}-12=3\,(x^{2}-4).
$$
El denominador se factoriza como diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
$$
Luego,
$$
\frac{3(x^{2}-4)}{x^{2}-4}=3,\quad (x\neq 2 \text{ y } x\neq -2).
$$

8. Dado
$$
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-6x+9},
$$
se factoriza el numerador usando diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
$$
y el denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
$$
x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
$$
Al cancelar el factor común $$(x-3)$$ (con $$x\neq 3$$) se tiene:
$$
\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}.
$$

9. Dado
$$
\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4},
$$
se factoriza el numerador como diferencia de cubos:
$$
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4),
$$
y el denominador como diferencia de cuadrados:
$$
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
$$
Cancelando el factor común $$(x-2)$$ (con $$x\neq 2$$) se obtiene:
$$
\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^{2}+2x+4}{x+2}.
$$

10. Dado
$$
\frac{8a^{3}+27}{4a^{2}+12a+9},
$$
el numerador es una suma de cubos, ya que $$8a^3=(2a)^3$$ y $$27=3^3$$. Se factoriza:
$$
8a^{3}+27=(2a+3)(4a^{2}-6a+9).
$$
El denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
$$
4a^{2}+12a+9=(2a+3)^{2}.
$$
Al cancelar el factor común $$(2a+3)$$ (con $$2a+3\neq 0$$) se tiene:
$$
\frac{(2a+3)(4a^{2}-6a+9)}{(2a+3)^{2}}=\frac{4a^{2}-6a+9}{2a+3}.
$$
6. $$ x + 2 $$ 7. $$ 3 $$ 8. $$ \frac{x + 3}{x - 3} $$ 9. $$ \frac{x^{2} + 2x + 4}{x + 2} $$ 10. $$ \frac{4a^{2} - 6a + 9}{2a + 3} $$

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