Hallar el angulo de corte entre. 1) \( y=x \operatorname{Ln} x \) 2) \( y=x \operatorname{Ln}(1-x) \)

Para hallar el ángulo de corte entre las dos curvas \( y = x \ln x \) y \( y = x \ln(1-x) \), primero necesitamos encontrar las derivadas de ambas funciones, que nos darán las pendientes en los puntos de intersección. 1) La derivada de \( y = x \ln x \) es \( \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \). 2) La derivada de \( y = x \ln(1-x) \) es \( \frac{dy}{dx} = \ln(1-x) - \frac{x}{1-x} \). Luego, encontramos los puntos de intersección resolviendo la ecuación \( x \ln x = x \ln(1-x) \), lo que se simplifica a \( \ln x = \ln(1-x) \). A partir de esto, podemos deducir que \( x = \frac{1}{2} \). Sustituimos \( x = \frac{1}{2} \) en las derivadas para encontrar las pendientes en este punto: 1) Para \( y = x \ln x \), cuando \( x = \frac{1}{2} \): \[ \frac{dy}{dx} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = -\ln(2) + 1. \] 2) Para \( y = x \ln(1-x) \), cuando \( x = \frac{1}{2} \): \[ \frac{dy}{dx} = \ln\left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = -\ln(2) - 1. \] Finalmente, el ángulo \( \theta \) entre las dos tangentes en el punto de intersección se puede calcular utilizando la fórmula: \[ \tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|, \] donde \( m_1 = -\ln(2) + 1 \) y \( m_2 = -\ln(2) - 1 \). Sustituyendo estos valores y simplificando, se puede calcular el ángulo de corte \( \theta \).