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The equation \( 5 x^{2}+15 x+4=0 \) has two solutions \( A \) and \( B \) where \( A
Ask by Frazier Phillips. in the United States
Mar 09,2025

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The solutions are: \[ A = \frac{-15 - \sqrt{145}}{10} \approx -2.704,\quad B = \frac{-15 + \sqrt{145}}{10} \approx -0.296. \]

Solución

We start with the quadratic equation \[ 5x^2 + 15x + 4 = 0. \] **Step 1.** Identify the coefficients: \[ a = 5,\quad b = 15,\quad c = 4. \] **Step 2.** Compute the discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 225 - 80 = 145. \] **Step 3.** Write down the quadratic formula: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 5} = \frac{-15 \pm \sqrt{145}}{10}. \] **Step 4.** Assign the solutions \(A\) and \(B\) such that \(A < B\). The smaller solution corresponds to the negative sign: \[ A = \frac{-15 - \sqrt{145}}{10}, \] and the larger solution corresponds to the positive sign: \[ B = \frac{-15 + \sqrt{145}}{10}. \] **Step 5.** For a decimal approximation (to 3 decimal places), note that \[ \sqrt{145} \approx 12.042. \] Then: \[ A \approx \frac{-15 - 12.042}{10} \approx \frac{-27.042}{10} \approx -2.704, \] \[ B \approx \frac{-15 + 12.042}{10} \approx \frac{-2.958}{10} \approx -0.296. \] The answers are: \[ A = \frac{-15 - \sqrt{145}}{10} \quad (\approx -2.704),\quad B = \frac{-15 + \sqrt{145}}{10} \quad (\approx -0.296). \]

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Extra Insights

To solve the quadratic equation \( 5x^2 + 15x + 4 = 0 \), we can use the quadratic formula \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Here, \( a = 5 \), \( b = 15 \), and \( c = 4 \). Let's calculate the discriminant first: \[ b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 225 - 80 = 145. \] Now, plugging into the quadratic formula: \[ x = \frac{-15 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 5} = \frac{-15 \pm \sqrt{145}}{10}. \] This gives us the two solutions: \[ A = \frac{-15 - \sqrt{145}}{10}, \quad B = \frac{-15 + \sqrt{145}}{10}. \] To provide numerical approximations: 1. Calculate \( \sqrt{145} \approx 12.041 \). 2. For \( A \): \[ A \approx \frac{-15 - 12.041}{10} \approx \frac{-27.041}{10} \approx -2.704. \] 3. For \( B \): \[ B \approx \frac{-15 + 12.041}{10} \approx \frac{-2.959}{10} \approx -0.296. \] Thus, the solutions are: \[ A \approx -2.704 \quad \text{and} \quad B \approx -0.296. \] Final answers rounded to three decimal places: \[ A = -2.704, \quad B = -0.296. \]

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