17-22 Utilisez une intégrale double pour calculer l'aire de la région. 17. Une boucle de la rosace $$ r=\cos 3 heta $$

Question

17-22 Utilisez une intégrale double pour calculer l'aire de la région. 17. Une boucle de la rosace $$ r=\cos 3 	heta $$

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Pour calculer l'aire de la région délimitée par la courbe $$ r = \cos(3\theta) $$, nous allons utiliser une intégrale double en coordonnées polaires. L'aire $$ A $$ d'une région en coordonnées polaires est donnée par la formule :

$$
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta
$$

Dans notre cas, $$ r = \cos(3\theta) $$. Nous devons d'abord déterminer les limites d'intégration $$ \alpha $$ et $$ \beta $$.

### Étape 1 : Déterminer les limites d'intégration

La courbe $$ r = \cos(3\theta) $$ a des symétries. Pour $$ \theta $$ variant de $$ 0 $$ à $$ \frac{\pi}{3} $$, la courbe trace une boucle. Comme la fonction est périodique avec une période de $$ \frac{2\pi}{3} $$, nous pouvons intégrer de $$ 0 $$ à $$ \frac{\pi}{3} $$ et multiplier par 3 pour obtenir l'aire totale.

### Étape 2 : Écrire l'intégrale

Nous allons donc calculer l'aire d'une boucle et multiplier par 3 :

$$
A = 3 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos(3\theta))^2 \, d\theta
$$

### Étape 3 : Calculer l'intégrale

Nous allons maintenant simplifier l'intégrale. Utilisons l'identité trigonométrique :

$$
\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
$$

En appliquant cela à notre intégrale :

$$
A = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos(6\theta)}{2} \, d\theta
$$

Cela se simplifie en :

$$
A = \frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos(6\theta)) \, d\theta
$$

### Étape 4 : Calculer l'intégrale

Nous allons maintenant calculer cette intégrale :

$$
A = \frac{3}{4} \left[ \theta + \frac{1}{6} \sin(6\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}
$$

Calculons cela :

1. Pour $$ \theta = \frac{\pi}{3} $$ :
   $$
   \frac{\pi}{3} + \frac{1}{6} \sin(2\pi) = \frac{\pi}{3} + 0 = \frac{\pi}{3}
   $$

2. Pour $$ \theta = 0 $$ :
   $$
   0 + 0 = 0
   $$

Donc, l'intégrale devient :

$$
A = \frac{3}{4} \left( \frac{\pi}{3} - 0 \right) = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}
$$

### Étape 5 : Aire totale

Finalement, l'aire totale de la région est :

$$
A = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}
$$

### Conclusion

L'aire de la région délimitée par la courbe $$ r = \cos(3\theta) $$ est :

$$
\boxed{\frac{3\pi}{4}}
$$
L'aire de la région délimitée par la courbe $$ r = \cos(3\theta) $$ est $$ \frac{3\pi}{4} $$.

17-22 Utilisez une intégrale double pour calculer l'aire de la région. 17. Une boucle de la rosace \( r=\cos 3 \theta \)

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