b) \( K(1,3), L(3,2) \) con \( r_{k}=2 \) 7) \( M(-1,2), N(-3,6) \) con \( r_{m n}=3 \) 8) \( A(-2,1), B(1,4) \) con \( r_{a b}=\frac{1}{2} \) 9) \( P(3,2), Q(2,4) \) con \( r_{p q}=\frac{1}{3} \)

Para resolver los problemas planteados, vamos a analizar cada uno de los casos que has proporcionado. Cada uno de ellos parece referirse a un segmento de línea entre dos puntos y un radio o relación que se debe considerar. Vamos a desglosar cada uno. ### 1. Para \( K(1,3) \) y \( L(3,2) \) con \( r_{k}=2 \) **Paso 1:** Identificar los puntos y el radio. - \( K(1,3) \) - \( L(3,2) \) - \( r_k = 2 \) **Paso 2:** Calcular la distancia entre \( K \) y \( L \). La distancia \( d \) entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula con la fórmula: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Sustituyendo los valores: \[ d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] **Paso 3:** Comparar la distancia con el radio. La relación \( r_k = 2 \) indica que la distancia \( d \) debe ser comparada con \( 2 \). ### 2. Para \( M(-1,2) \) y \( N(-3,6) \) con \( r_{m n}=3 \) **Paso 1:** Identificar los puntos y el radio. - \( M(-1,2) \) - \( N(-3,6) \) - \( r_{mn} = 3 \) **Paso 2:** Calcular la distancia entre \( M \) y \( N \). \[ d = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \] **Paso 3:** Comparar la distancia con el radio. La relación \( r_{mn} = 3 \) indica que la distancia \( d \) debe ser comparada con \( 3 \). ### 3. Para \( A(-2,1) \) y \( B(1,4) \) con \( r_{a b}=\frac{1}{2} \) **Paso 1:** Identificar los puntos y el radio. - \( A(-2,1) \) - \( B(1,4) \) - \( r_{ab} = \frac{1}{2} \) **Paso 2:** Calcular la distancia entre \( A \) y \( B \). \[ d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \] **Paso 3:** Comparar la distancia con el radio. La relación \( r_{ab} = \frac{1}{2} \) indica que la distancia \( d \) debe ser comparada con \( \frac{1}{2} \). ### 4. Para \( P(3,2) \) y \( Q(2,4) \) con \( r_{p q}=\frac{1}{3} \) **Paso 1:** Identificar los puntos y el radio. - \( P(3,2) \) - \( Q(2,4) \) - \( r_{pq} = \frac{1}{3} \) **Paso 2:** Calcular la distancia entre \( P \) y \( Q \). \[ d = \sqrt{(2 - 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] **Paso 3:** Comparar la distancia con el radio. La relación \( r_{pq} = \frac{1}{3} \) indica que la distancia \( d \) debe ser comparada con \( \frac{1}{3} \). ### Resumen de Resultados 1. Para \( K \) y \( L \): \( d = \sqrt{5} \) y \( r_k = 2 \) 2. Para \( M \) y \( N \): \( d = \sqrt{20} \) y \( r_{mn} = 3 \) 3. Para \( A \) y \( B \): \( d = \sqrt{18} \) y \( r_{ab} = \frac{1}{2} \) 4. Para \( P \) y \( Q \): \( d = \sqrt{5} \) y \( r_{pq} = \frac{1}{3} \) Si necesitas más detalles o un análisis específico sobre las relaciones entre las distancias y los radios, házmelo saber.