\( r = \sin ( \theta + \sqrt { \theta + 1 } ) \)

1. Determinamos el dominio de la función. Como aparece la raíz cuadrada \( \sqrt{\theta+1} \), es necesario que el radicando sea no negativo: \[ \theta+1\geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \theta\geq -1. \] Por lo tanto, la función está definida para \( \theta\geq -1 \). 2. La función dada es \[ r=\sin\Bigl(\theta+\sqrt{\theta+1}\Bigr). \] Se trata de una función que asigna a cada ángulo \( \theta \) (dentro del dominio) un valor de radio \( r \). Aquí, el argumento del seno es la suma de dos términos: uno lineal, \( \theta \), y otro no lineal, \( \sqrt{\theta+1} \). 3. Propiedades de la función: - La función \( \sin(u) \) tiene valores en el intervalo \([-1,\,1]\), así que para cualquier \( \theta\geq -1 \) se cumple que: \[ -1\leq \sin\Bigl(\theta+\sqrt{\theta+1}\Bigr)\leq 1. \] Esto implica que los valores de \( r \) están acotados en \([-1,\,1]\). - La parte \( \theta+\sqrt{\theta+1} \) es continua y creciente (dentro del dominio \( \theta\geq -1 \)) ya que \( \theta \) es lineal y \( \sqrt{\theta+1} \) es una función creciente para \( \theta\geq -1 \). 4. Intersecciones o condiciones especiales: - Para encontrar las intersecciones con el origen en coordenadas polares, se puede buscar dónde \( r=0 \). Es decir, se debe resolver la ecuación: \[ \sin\Bigl(\theta+\sqrt{\theta+1}\Bigr)=0. \] Recordando que \( \sin(u)=0 \) cuando \( u=n\pi \) para algún \( n\in\mathbb{Z} \), se tiene: \[ \theta+\sqrt{\theta+1}=n\pi \quad \text{con } n\in\mathbb{Z}. \] Esta ecuación es trascendental y, en general, no se puede resolver de forma exacta. Para obtener soluciones particulares se requeriría un análisis numérico o gráfico. 5. Resumen: - El dominio de la función es \( \theta\geq -1 \). - La función está definida por \[ r=\sin\Bigl(\theta+\sqrt{\theta+1}\Bigr), \] donde \( r \) varía entre \(-1\) y \( 1 \). - Si se quiere encontrar puntos donde \( r=0 \), se debe resolver la ecuación \( \theta+\sqrt{\theta+1}=n\pi \) para enteros \( n \), lo cual generalmente requiere métodos numéricos para obtener soluciones específicas. Estos pasos resumen el análisis y la solución paso a paso de la función \( r=\sin\Bigl(\theta+\sqrt{\theta+1}\Bigr) \) en el contexto de sus propiedades y dominio.