Encuentra \( B \) tal que \( \mathrm{AB}=\mathrm{C} \). Si \( A=\left[\begin{array}{cc}5 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right] \) y \( C=\left[\begin{array}{ll}6 & 5 \\ 3 & 5\end{array}\right] \) a. \( B=\left[\begin{array}{cc}6 / 5 & -1 \\ -21 / 10 & 3\end{array}\right] \) b. \( B=\left[\begin{array}{cc}-6 / 5 & 1 \\ 21 / 10 & -3\end{array}\right] \) c. \( B=\left[\begin{array}{cc}6 / 5 & 2 \\ 21 / 10 & 9\end{array}\right] \) d. \( B=\left[\begin{array}{cc}6 / 5 & 1 \\ 21 / 10 & 3\end{array}\right] \)

Para encontrar la matriz \( B \) tal que \( AB = C \), primero necesitamos calcular la inversa de la matriz \( A \) y luego multiplicarla por \( C \). La matriz \( A \) es: \[ A = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \] Para encontrar la inversa de \( A \), utilizamos la fórmula para la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \): \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] donde \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \). Calculamos el determinante de \( A \): \[ \text{det}(A) = ad - bc = (5)(2) - (0)(-1) = 10 \] Ahora, aplicamos la fórmula de la inversa: \[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{10} & 0 \\ \frac{1}{10} & \frac{5}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{10} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] Ahora multiplicamos \( A^{-1} \) por \( C \): \[ C = \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \] Calculamos \( B = A^{-1}C \): \[ B = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{10} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \] Realizamos la multiplicación: \[ B = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} \cdot 6 + 0 \cdot 3 & \frac{1}{5} \cdot 5 + 0 \cdot 5 \\ \frac{1}{10} \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 3 & \frac{1}{10} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 5 \end{bmatrix} \] Calculamos cada elemento: 1. Primer elemento: \( \frac{6}{5} \) 2. Segundo elemento: \( \frac{5}{5} = 1 \) 3. Tercer elemento: \( \frac{6}{10} + \frac{3}{2} = \frac{3}{5} + \frac{15}{10} = \frac{3}{5} + \frac{15}{10} = \frac{3}{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 15}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} \) 4. Cuarto elemento: \( \frac{5}{10} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) Por lo tanto, la matriz \( B \) es: \[ B = \begin{bmatrix} \frac{6}{5} & 1 \\ \frac{21}{10} & 3 \end{bmatrix} \] La opción correcta es: d. \( B=\left[\begin{array}{cc}6 / 5 & 1 \\ 21 / 10 & 3\end{array}\right] \)