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1) \( \frac{3}{a-4}+\frac{2}{a+3} \cdots \frac{21}{a^{2}-a-12} \)

Ask by Powell Tran. in South Africa
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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\[ \frac{5a+22}{(a-4)(a+3)} \]

Solución

We wish to simplify \[ \frac{3}{a-4}+\frac{2}{a+3}+\frac{21}{a^{2}-a-12}. \] Notice that the quadratic in the denominator of the third fraction factors: \[ a^{2}-a-12=(a-4)(a+3). \] Thus the expression becomes \[ \frac{3}{a-4}+\frac{2}{a+3}+\frac{21}{(a-4)(a+3)}. \] To combine these three fractions into a single fraction, we use the common denominator \((a-4)(a+3)\). 1. Write the first term over the common denominator: \[ \frac{3}{a-4}=\frac{3(a+3)}{(a-4)(a+3)}. \] 2. Write the second term over the common denominator: \[ \frac{2}{a+3}=\frac{2(a-4)}{(a-4)(a+3)}. \] 3. The third term already has the denominator \((a-4)(a+3)\). Now, the sum is \[ \frac{3(a+3)+2(a-4)+21}{(a-4)(a+3)}. \] Let’s simplify the numerator by expanding and combining like terms: - Expand: \(3(a+3)=3a+9\) and \(2(a-4)=2a-8\). - Add: \[ 3a+9+2a-8+21=(3a+2a)+ (9-8+21)=5a+22. \] Thus, the simplified expression is \[ \frac{5a+22}{(a-4)(a+3)}. \]

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Bonus Knowledge

The expression \( \frac{3}{a-4}+\frac{2}{a+3}+\frac{21}{a^{2}-a-12} \) can be simplified by factoring the quadratic in the third term. The quadratic \( a^2 - a - 12 \) factors to \( (a-4)(a+3) \). Thus, we can rewrite the third term as \( \frac{21}{(a-4)(a+3)} \). Now the entire expression is: \[ \frac{3}{a-4} + \frac{2}{a+3} + \frac{21}{(a-4)(a+3)} \] To combine these fractions, we need a common denominator, which is \( (a-4)(a+3) \). Rewriting each term with this common denominator gives: \[ \frac{3(a+3)}{(a-4)(a+3)} + \frac{2(a-4)}{(a-4)(a+3)} + \frac{21}{(a-4)(a+3)} \] Now we can combine the numerators: \[ \frac{3(a+3) + 2(a-4) + 21}{(a-4)(a+3)} \] Distributing in the numerator results in: \[ 3a + 9 + 2a - 8 + 21 = 5a + 22 \] Thus, the simplified expression is: \[ \frac{5a + 22}{(a-4)(a+3)} \] And that's your simplified expression!

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