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1. El Departamento de Electrónica de una tienda departamental debe determinar cuán Pantallas LCD y cuántos Home Theatre debe tener en existencia. Una Pantalla LCD requi en promedio de \( 1 \mathrm{~m}^{2} \) de espacio-piso, un Home Theatre requiere de \( 0.6 \mathrm{~m}^{2} \) y se tier disponibles \( 20 \mathrm{~m}^{2} \) de espacio-piso. Una Pantalla LCD representa al venderse una utilidad de \( \$ 1500 \) y un Home Theatre \( \$ 600 \). Mercadotecnia ha establecido que se requiere al menos un \( 60 \% \) de existencias de Panta Finalmente la inversión de capital por cada Pantalla LCD es de \( \$ 6000 \) y por cada Ho Theatre \( \$ 3000 \) y no se desea invertir más de \( \$ 220000 \). Formular un modelo de programación lineal para maximizar la utilidad.

Ask by Simpson French. in Mexico
Feb 26,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Para maximizar la utilidad, se deben determinar la cantidad de Pantallas LCD y Home Theatre a tener en existencia. Se establecen las siguientes restricciones: 1. **Espacio-piso**: Cada Pantalla LCD ocupa 1 m² y cada Home Theatre 0.6 m², con un total de 20 m² disponibles. 2. **Proporción de existencias**: Al menos el 60% de las existencias deben ser Pantallas LCD. 3. **Inversión en capital**: La inversión máxima permitida es de \$220,000, con cada Pantalla LCD costando \$6,000 y cada Home Theatre \$3,000. El modelo de programación lineal para maximizar la utilidad es: **Función Objetivo**: Maximizar Z = 1,500x + 600y **Restricciones**: 1. x + 0.6y ≤ 20 2. x ≥ 0.6(x + y) 3. 6,000x + 3,000y ≤ 220,000 4. x ≥ 0, y ≥ 0 Donde: - x = número de Pantallas LCD - y = número de Home Theatre

Solución

Definamos las variables de decisión de la siguiente manera:  • x = número de Pantallas LCD a tener en existencia  • y = número de Home Theatre a tener en existencia El objetivo es maximizar la utilidad. Cada Pantalla LCD genera una utilidad de US$ 1500 y cada Home Theatre una utilidad de US$ 600, por lo que la función objetivo es:  Maximizar Z = 1500 · x + 600 · y Sujeta a las siguientes restricciones: 1. Restricción de espacio-piso:  Cada Pantalla LCD requiere 1 m² y cada Home Theatre 0.6 m², disponiendo de 20 m² en total. Así:   x + 0.6 · y ≤ 20 2. Restricción de proporción de existencias (mínimo 60% de las existencias deben ser Pantallas LCD):  Esto se expresa como:   x/(x + y) ≥ 0.6  Multiplicando ambos lados por (x + y) (asumiendo que x + y > 0) se obtiene:   x ≥ 0.6 · (x + y)  Lo que equivale a:   x − 0.6·x ≥ 0.6 · y ⟹ 0.4 · x ≥ 0.6 · y  Dividiendo entre 0.2 (o simplificando) se tiene:   2 · x ≥ 3 · y ⟹ x ≥ (3/2) · y 3. Restricción de inversión en capital:  Cada Pantalla LCD requiere US$ 6000 y cada Home Theatre US$ 3000, con un máximo de US$ 220000 para invertir. Así:   6000 · x + 3000 · y ≤ 220000 4. Restricciones de no negatividad (y, si se requiere, integrales):   x ≥ 0,   y ≥ 0  (Además, en muchos casos se espera que x e y sean variables enteras) El modelo de programación lineal para maximizar la utilidad es, por lo tanto:  Maximizar Z = 1500 · x + 600 · y  sujeto a:   1) x + 0.6 · y ≤ 20   2) x ≥ (3/2) · y   3) 6000 · x + 3000 · y ≤ 220000   4) x ≥ 0, y ≥ 0  (and if necessary, x, y enteros) Este es el modelo de programación lineal solicitado.

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The Deep Dive

Para formular un modelo de programación lineal que maximice la utilidad, definamos las variables de decisión. Sea \( x \) el número de Pantallas LCD y \( y \) el número de Home Theatre. Entonces, maximizamos la utilidad total \( U \): \[ U = 1500x + 600y \] Sujeto a las siguientes restricciones: 1. Espacio disponible: \[ x + 0.6y \leq 20 \] 2. Proporción mínima de Pantallas LCD: \[ x \geq 0.6(x + y) \] 3. Inversión de capital: \[ 6000x + 3000y \leq 220000 \] 4. No negatividad: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \] Este sistema de ecuaciones puede resolverse usando métodos de programación lineal, como el método gráfico o el método simplex, para encontrar los valores óptimos de \( x \) y \( y \). --- Desde el auge de las tiendas departamentales en el siglo XX, la gestión de inventarios se ha convertido en un arte y una ciencia. Las técnicas de programación lineal fueron adoptadas en la industria para maximizar beneficios y utilizar eficientemente los recursos disponibles, ayudando a tiendas y empresas a tomar decisiones más informadas sobre su inventario y distribución de productos. En el mundo actual, la programación lineal se aplica en diversas áreas, como la planificación de rutas de transporte, la asignación de recursos en producción o incluso en el marketing digital. Es una herramienta versátil que permite optimizar decisiones empresariales y maximizar la eficiencia, desde una tienda de electrónicos hasta grandes cadenas de suministro.

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