В квадрате \( A B C D \) точкн \( M \) и \( N \) - середины сторон \( A B \) п \( B C \) соответственно. Отрези \( C M \) и \( D N \) пересекаются в точке \( K \) а) Докажнте, что \( \angle B K M=45^{\circ} \). б) Найдите раднус окрукностн, описанной около треуготьнива \( A B K \), ести \( A B=4 \sqrt{5} \)

1. Пусть квадрат \(ABCD\) имеет сторону \(l\) с координатами \[ A=(0,0),\quad B=(l,0),\quad C=(l,l),\quad D=(0,l). \] Точка \(M\) – середина \(AB\): \[ M=\left(\frac{l}{2},0\right), \] а точка \(N\) – середина \(BC\): \[ N=(l,\frac{l}{2}). \] 2. Найдём точку пересечения \(K\) прямых \(CM\) и \(DN\). - Прямая \(CM\) проходит через \(C=(l,l)\) и \(M=\left(\frac{l}{2},0\right)\). Её параметрическое уравнение можно записать так: \[ CM:\quad x=l-\frac{l}{2}t,\quad y=l(1-t),\quad t\in\mathbb{R}. \] - Прямая \(DN\) проходит через \(D=(0,l)\) и \(N=\left(l,\frac{l}{2}\right)\) и задаётся: \[ DN:\quad x=ls,\quad y=l\left(1-\frac{s}{2}\right),\quad s\in\mathbb{R}. \] Приравнивая координаты точек \(K\) (при пересечении \(t\) и \(s\) удовлетворяют): \[ l-\frac{l}{2}t = ls \quad \Longrightarrow \quad s=1-\frac{t}{2}, \] \[ l(1-t)=l\left(1-\frac{s}{2}\right). \] Подставляем \(s=1-\frac{t}{2}\) во второе уравнение: \[ 1-t = 1-\frac{1}{2}\left(1-\frac{t}{2}\right)= 1-\frac{1}{2}+\frac{t}{4}=\frac{1}{2}+\frac{t}{4}. \] Умножая на 4: \[ 4-4t = 2+t \quad \Longrightarrow \quad 4-4t-2=t \quad \Longrightarrow \quad 2=5t, \] откуда \[ t=\frac{2}{5}. \] Тогда \[ s=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}. \] Подставляя \(t=\frac{2}{5}\) в уравнения прямой \(CM\), получим координаты \(K\): \[ K=\left(l\left(1-\frac{t}{2}\right),\, l(1-t)\right)=\left(l\left(1-\frac{1}{5}\right),\, l\left(1-\frac{2}{5}\right)\right)=\left(\frac{4l}{5},\,\frac{3l}{5}\right). \] 3. **Пункт (а). Докажем, что \(\angle BKM=45^\circ\).** Найдём векторы, исходящие из \(K\) в точки \(B\) и \(M\): - Точка \(B=(l,0)\), поэтому \[ \overrightarrow{KB}=B-K=\left(l-\frac{4l}{5},\,0-\frac{3l}{5}\right)=\left(\frac{l}{5},\, -\frac{3l}{5}\right). \] - Точка \(M=\left(\frac{l}{2},0\right)\), поэтому \[ \overrightarrow{KM}=M-K=\left(\frac{l}{2}-\frac{4l}{5},\, 0-\frac{3l}{5}\right)=\left(l\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\right),\, -\frac{3l}{5}\right)=\left(-\frac{3l}{10},\, -\frac{3l}{5}\right). \] Вычислим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{KB}\cdot\overrightarrow{KM}=\frac{l}{5}\cdot\left(-\frac{3l}{10}\right)+\left(-\frac{3l}{5}\right)\cdot\left(-\frac{3l}{5}\right) = -\frac{3l^2}{50}+\frac{9l^2}{25} =\frac{-3l^2+18l^2}{50} =\frac{15l^2}{50}=\frac{3l^2}{10}. \] Найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{KB}|=\sqrt{\left(\frac{l}{5}\right)^2+\left(-\frac{3l}{5}\right)^2} =\frac{l}{5}\sqrt{1+9}=\frac{l\sqrt{10}}{5}, \] \[ |\overrightarrow{KM}|=\sqrt{\left(-\frac{3l}{10}\right)^2+\left(-\frac{3l}{5}\right)^2} =l\sqrt{\frac{9}{100}+\frac{9}{25}} =l\sqrt{\frac{9+36}{100}} =\frac{3l\sqrt{5}}{10}. \] Тогда косинус угла \(\theta=\angle BKM\) равен: \[ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{KB}\cdot\overrightarrow{KM}}{|\overrightarrow{KB}||\overrightarrow{KM}|} =\frac{\frac{3l^2}{10}}{\frac{l\sqrt{10}}{5}\cdot\frac{3l\sqrt{5}}{10}} =\frac{\frac{3l^2}{10}}{\frac{3l^2\sqrt{50}}{50}} =\frac{\frac{3l^2}{10}}{\frac{15l^2\sqrt{2}}{50}} =\frac{\frac{3l^2}{10}}{\frac{3l^2\sqrt{2}}{10}} =\frac{1}{\sqrt{2}}. \] Откуда \[ \theta