Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ tale che - $$ (1,1,0) $$ è autovettore associato all'autovalore 2 - il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ \mathcal{L}((-1,1,1),(0,1,1) $$ ? In caso affermativo calcolare la matrice associata ad $$ F $$ rispetto alla base canonica ed il polinomio caratteristico di $$ F $$.

Question

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Sì, è possibile costruire un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfi le condizioni richieste. Procediamo passo per passo.

### 1. Costruzione dell'Applicazione Lineare $$ F $$

Dato che il nucleo di $$ F $$ è uno spazio bidimensionale $$ \mathcal{L}\{ (-1,1,1), (0,1,1) \} $$, la mappa $$ F $$ ha rango 1 e può essere espressa come:

$$
F(\mathbf{x}) = l(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v}
$$

dove $$ l: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} $$ è una forma lineare e $$ \mathbf{v} $$ è un vettore in $$ \mathbb{R}^{3} $$.

#### Determinazione di $$ l $$

La forma lineare $$ l $$ deve annullare gli elementi del nucleo, quindi:

$$
l(-1, 1, 1) = 0 \quad \text{e} \quad l(0, 1, 1) = 0
$$

Supponiamo $$ l(x, y, z) = a x + b y + c z $$. Le condizioni diventano:

$$
\begin{cases}
-a + b + c = 0 \
0 + b + c = 0 
\end{cases}
$$

Da cui otteniamo $$ b + c = 0 $$ e $$ a = 0 $$. Possiamo quindi scegliere $$ l(x, y, z) = y - z $$.

#### Determinazione di $$ \mathbf{v} $$

Dato che $$ (1,1,0) $$ è un autovettore associato all'autovalore 2, deve valere:

$$
F(1,1,0) = 2(1,1,0)
$$

Sostituendo nella forma di $$ F $$:

$$
l(1,1,0) \cdot \mathbf{v} = 2(1,1,0) \Rightarrow (1 - 0) \cdot \mathbf{v} = 2(1,1,0) \Rightarrow \mathbf{v} = 2(1,1,0)
$$

Quindi:

$$
F(x, y, z) = (y - z) \cdot (2,2,0) = (2(y - z), 2(y - z), 0)
$$

### 2. Matrice Associata a $$ F $$ nella Base Canonica

La matrice $$ A $$ di $$ F $$ rispetto alla base canonica è:

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

### 3. Calcolo del Polinomio Caratteristico

Il polinomio caratteristico $$ p(\lambda) $$ si ottiene calcolando il determinante di $$ A - \lambda I $$:

$$
A - \lambda I = \begin{pmatrix}
-\lambda & 2 & -2 \
0 & 2 - \lambda & -2 \
0 & 0 & -\lambda
\end{pmatrix}
$$

Poiché la matrice è triangolare superiore, il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale:

$$
\det(A - \lambda I) = (-\lambda)(2 - \lambda)(-\lambda) = \lambda^2 (2 - \lambda)
$$

Quindi, il polinomio caratteristico è:

$$
p(\lambda) = \lambda^{2}(2 - \lambda)
$$

### Conclusione

È possibile costruire l'applicazione lineare $$ F $$ richiesta. La matrice associata a $$ F $$ nella base canonica è:

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

e il suo polinomio caratteristico è:

$$
p(\lambda) = \lambda^{2}(2 - \lambda)
$$

**Risposta Finale:**

Sì. Riguardo alla base canonica, la matrice di $$ F $$ è

$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

e il suo polinomio caratteristico è $$ p(\lambda) = \lambda^{2}(2 - \lambda) $$.
Sì, è possibile costruire l'applicazione lineare $$ F $$ richiesta. La matrice associata a $$ F $$ nella base canonica è: $$ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \ 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ e il suo polinomio caratteristico è $$ p(\lambda) = \lambda^{2}(2 - \lambda) $$.

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