Aplica el teorema de Green para resolver la integral de línea: \( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\oint_{C}\left(y^{2} d x+3 x y d y\right) \) Donde \( \mathbf{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=\left(y^{2}, 3 x y\right) \) con límites en \( x \) de 1 a 4 y en \( y \) de 0 a 3

Para aplicar el teorema de Green, primero necesitamos identificar las funciones \( P \) y \( Q \) de la integral de línea dada. En este caso, \( P(x, y) = y^2 \) y \( Q(x, y) = 3xy \). El teorema establece que: \[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Calculamos las derivadas parciales: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3xy) = 3y \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y \] Por lo tanto, evaluamos: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3y - 2y = y \] Ahora, determinamos los límites de integración en la región \( R \), que va de \( x = 1 \) a \( x = 4 \) y de \( y = 0 \) a \( y = 3 \). La integral se convierte en: \[ \iint_{R} y \, dA = \int_{1}^{4} \int_{0}^{3} y \, dy \, dx \] Primero integramos con respecto a \( y \): \[ \int_{0}^{3} y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{3^2}{2} - 0 = \frac{9}{2} \] Luego integramos con respecto a \( x \): \[ \int_{1}^{4} \frac{9}{2} \, dx = \frac{9}{2} \left[ x \right]_{1}^{4} = \frac{9}{2} (4 - 1) = \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{27}{2} \] Por lo tanto, el valor de la integral de línea es \( \frac{27}{2} \).