4. Resuelve a partir de la información suministrada. Justifica tus respuestas. a. Si en una circunferencia la longitud de arco subtendida por un ángula de $$ 67,5^{\circ} $$ es 125 cm , ¿cual es el radio de la circunferencia? b. En una circunferencia de radio 10 m se tiene una longitud de arco de 200 m . ¿Cuál es el ángulo que subtiende la longitud de arco? C. Un corredor se encuentra entrenando en una pista circular de 50 m de diámetro. Si su preparador físico le dice que debe recorrer 5 km . ¿cuántas vueltas debe dar a la pista el corredor para cumplir con su preparación?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a resolver cada uno de los apartados de la pregunta paso a paso.

### a. Cálculo del radio de la circunferencia

**Datos:**
- Longitud de arco $$ L = 125 \, \text{cm} $$
- Ángulo $$ \theta = 67.5^{\circ} $$

**Fórmula:**
La longitud de arco $$ L $$ se relaciona con el radio $$ r $$ y el ángulo $$ \theta $$ en radianes mediante la fórmula:
$$
L = r \cdot \theta
$$
Primero, necesitamos convertir el ángulo de grados a radianes:
$$
\theta \, (\text{radianes}) = \theta \, (\text{grados}) \cdot \frac{\pi}{180}
$$

Ahora, sustituimos los valores y despejamos $$ r $$:
$$
r = \frac{L}{\theta}
$$

Realicemos los cálculos.

### b. Cálculo del ángulo que subtiende la longitud de arco

**Datos:**
- Radio $$ r = 10 \, \text{m} $$
- Longitud de arco $$ L = 200 \, \text{m} $$

**Fórmula:**
Usamos la misma relación:
$$
L = r \cdot \theta
$$
Despejamos $$ \theta $$:
$$
\theta = \frac{L}{r}
$$

Realizaremos los cálculos para encontrar el ángulo en radianes y luego lo convertiremos a grados.

### c. Cálculo de las vueltas que debe dar el corredor

**Datos:**
- Diámetro de la pista $$ d = 50 \, \text{m} $$
- Distancia total a recorrer $$ D = 5 \, \text{km} = 5000 \, \text{m} $$

**Fórmula:**
Primero, calculamos el radio de la pista:
$$
r = \frac{d}{2}
$$
Luego, calculamos la circunferencia $$ C $$ de la pista:
$$
C = 2 \pi r
$$
Finalmente, el número de vueltas $$ N $$ que debe dar el corredor es:
$$
N = \frac{D}{C}
$$

Ahora, procederé a realizar todos los cálculos necesarios.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{200}{10}$$
- step1: Reduce the numbers:
  $$\frac{20}{1}$$
- step2: Calculate:
  $$20$$
Calculate or simplify the expression $$ 5000 / (2 * \pi * (50 / 2)) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{5000}{\left(2\pi \left(\frac{50}{2}\right)\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{5000}{2\pi \left(\frac{50}{2}\right)}$$
- step2: Divide the terms:
  $$\frac{5000}{2\pi \times 25}$$
- step3: Multiply the terms:
  $$\frac{5000}{50\pi }$$
- step4: Reduce the fraction:
  $$\frac{100}{\pi }$$
Calculate or simplify the expression $$ 125 / (67.5 * \pi / 180) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{125}{\frac{67.5\pi }{180}}$$
- step1: Multiply by the reciprocal:
  $$125\times \frac{180}{67.5\pi }$$
- step2: Multiply the fractions:
  $$\frac{125\times 180}{67.5\pi }$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{22500}{67.5\pi }$$
- step4: Simplify:
  $$\frac{22500}{212.057504}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$106.103295$$
Calculate or simplify the expression $$ 50 / 2 $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{50}{2}$$
- step1: Reduce the numbers:
  $$\frac{25}{1}$$
- step2: Calculate:
  $$25$$
Calculate or simplify the expression $$ 2 * \pi * (50 / 2) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$2\pi \left(\frac{50}{2}\right)$$
- step1: Divide the terms:
  $$2\pi \times 25$$
- step2: Multiply the terms:
  $$50\pi $$
Ahora, vamos a presentar los resultados de cada apartado junto con sus justificaciones.

### a. Cálculo del radio de la circunferencia

**Cálculo:**
$$
r = \frac{125}{67.5 \cdot \frac{\pi}{180}} \approx 106.10 \, \text{cm}
$$

**Justificación:**
El radio de la circunferencia es aproximadamente $$ 106.10 \, \text{cm} $$. Esto se obtiene al dividir la longitud del arco por el ángulo en radianes, lo que nos da el radio correspondiente a esa longitud de arco.

### b. Cálculo del ángulo que subtiende la longitud de arco

**Cálculo:**
$$
\theta = \frac{200}{10} = 20 \, \text{radianes}
$$

**Conversión a grados:**
$$
\theta \, (\text{grados}) = 20 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 1145.92^{\circ}
$$

**Justificación:**
El ángulo que subtiende la longitud de arco de $$ 200 \, \text{m} $$ en una circunferencia de radio $$ 10 \, \text{m} $$ es $$ 20 \, \text{radianes} $$, lo que equivale a aproximadamente $$ 1145.92^{\circ} $$.

### c. Cálculo de las vueltas que debe dar el corredor

**Cálculo del radio:**
$$
r = \frac{50}{2} = 25 \, \text{m}
$$

**Cálculo de la circunferencia:**
$$
C = 2 \pi r = 2 \pi (25) \approx 157.08 \, \text{m}
$$

**Cálculo del número de vueltas:**
$$
N = \frac{5000}{157.08} \approx 31.83
$$

**Justificación:**
El corredor debe dar aproximadamente $$ 31.83 $$ vueltas a la pista circular de $$ 50 \, \text{m} $$ de diámetro para completar $$ 5 \, \text{km} $$. Esto se obtiene dividiendo la distancia total a recorrer por la longitud de la circunferencia de la pista.

### Resumen de resultados:
- **a.** Radio de la circunferencia: $$ \approx 106.10 \, \text{cm} $$
- **b.** Ángulo que subtiende la longitud de arco: $$ 20 \, \text{radianes} $$ (aproximadamente $$ 1145.92^{\circ} $$)
- **c.** Vueltas necesarias: $$ \approx 31.83 $$ vueltas.
a. El radio de la circunferencia es aproximadamente 106.10 cm. b. El ángulo que subtiende la longitud de arco es 20 radianes (aproximadamente 1145.92°). c. El corredor debe dar aproximadamente 31.83 vueltas a la pista para recorrer 5 km.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

a. Cálculo del radio de la circunferencia

b. Cálculo del ángulo que subtiende la longitud de arco

c. Cálculo de las vueltas que debe dar el corredor

a. Cálculo del radio de la circunferencia

b. Cálculo del ángulo que subtiende la longitud de arco

c. Cálculo de las vueltas que debe dar el corredor

Resumen de resultados:

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