Si se considera que: \( x^{x}=2 \), se pide resolver: \[ E=\frac{x^{x^{x+1}} * x^{x^{x+x^{x+1}+1}}}{\sqrt[4]{x^{x^{1-2 x^{1-x}}}}} \]

Consideremos la ecuación dada \[ x^x = 2. \] Tenemos que evaluar la expresión \[ E=\frac{x^{x^{x+1}} \cdot x^{x^{x+x^{x+1}+1}}}{\sqrt[4]{x^{x^{1-2x^{1-x}}}}}. \] Procedemos paso a paso. ### Paso 1. Simplificar el numerador El numerador es el producto \[ x^{x^{x+1}} \cdot x^{x^{x+x^{x+1}+1}}. \] Recordando que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, la base \(x\) queda elevada a la suma de los exponentes. Es decir, \[ x^{x^{x+1}} \cdot x^{x^{x+x^{x+1}+1}} = x^{\;x^{x+1} + x^{\,x+x^{x+1}+1}}. \] **Primer término:** \(x^{x+1}\) Utilizamos que \[ x^{x+1} = x^x \cdot x = 2x, \] pues \(x^x = 2\). **Segundo término:** El exponente es \[ x + x^{x+1} + 1. \] Sustituimos \(x^{x+1}=2x\) y obtenemos \[ x + 2x + 1 = 3x + 1. \] Es decir, el segundo exponente se convierte en \[ x^{x+x^{x+1}+1} = x^{\,3x+1}. \] Ahora, usemos la propiedad de las potencias para simplificar \(x^{\,3x+1}\). Escribimos \[ x^{3x+1} = x^{3x} \cdot x = (x^x)^3 \cdot x. \] Ya que \(x^x=2\) se tiene \[ (x^x)^3 = 2^3 = 8, \] por lo que \[ x^{3x+1} = 8x. \] Entonces, la suma de los exponentes en el numerador es \[ x^{x+1} + x^{x+x^{x+1}+1} = 2x + 8x = 10x. \] Así, el numerador se ha simplificado a \[ x^{10x}. \] ### Paso 2. Simplificar el denominador El denominador es \[ \sqrt[4]{x^{x^{1-2x^{1-x}}}}. \] Recordamos que la raíz cuarta equivale a elevar a la potencia \(\frac{1}{4}\): \[ \sqrt[4]{x^{x^{1-2x^{1-x}}}} = x^{\frac{1}{4}x^{1-2x^{1-x}}}. \] ### Paso 3. Escribir la expresión completa La expresión \(E\) queda \[ E = \frac{x^{10x}}{x^{\frac{1}{4}x^{1-2x^{1-x}}}} = x^{\,10x - \frac{1}{4}x^{1-2x^{1-x}}}. \] ### Paso 4. Simplificar \(x^{1-2x^{1-x}}\) Primero, observamos el exponente \(1-2x^{1-x}\). Calculemos \(x^{1-x}\): \[ x^{1-x} = \frac{x}{x^x}. \] Pero \(x^x=2\) por hipótesis, de modo que \[ x^{1-x} = \frac{x}{2}. \] Luego, \[ 1-2x^{1-x} = 1-2\left(\frac{x}{2}\right) = 1-x. \] Por lo tanto, \[ x^{1-2x^{1-x}} = x^{1-x}. \] Nuevamente, usamos \[ x^{1-x} = \frac{x}{x^x} = \frac{x}{2}. \] De esta forma, el exponente del denominador queda \[ \frac{1}{4}x^{1-2x^{1-x}} = \frac{1}{4}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{8}. \] ### Paso 5. Sustituir en la expresión de \(E\) Reemplazamos en la expresión de \(E\): \[ E = x^{10x - \frac{x}{8}} = x^{\frac{80x - x}{8}} = x^{\frac{79x}{8}}. \] ### Paso 6. Expresar la respuesta en términos de \(2\) Notamos que \[ x^{\frac{79x}{8}} = \left(x^x\right)^{\frac{79}{8}}. \] Dado que \(x^x=2\), se tiene \[ E = 2^{\frac{79}{8}}. \] ### Respuesta Final \[ E = 2^{\frac{79}{8}}. \]