f) Une boîte contient des billes jaunes et des billes vertes. Si l'on ajoutait une bille jaune, les billes jaunes représenteraient le quart du nouveau contenu de la boîte. Si l'on en retirait une, elles n'en représenteraient plus que le cinquième. Combien cette boîte contient-elle de billes vertes?

Appelons \( y \) le nombre de billes jaunes et \( v \) le nombre de billes vertes. Selon le premier scénario, si on ajoute une bille jaune, alors le nombre total de billes devient \( y + 1 + v \), et les billes jaunes représentent un quart de ce total. Ainsi, on peut écrire l'équation suivante : \[ y = \frac{1}{4}(y + 1 + v) \] Multipliant chaque côté par 4 pour simplifier, on obtient : \[ 4y = y + 1 + v \\ 3y - v = 1 \quad \text{(Équation 1)} \] Pour le deuxième scénario, si l’on retire une bille jaune, le nombre total devient \( y - 1 + v \), et les billes jaunes représentent un cinquième de ce total. Nous écrivons alors : \[ y - 1 = \frac{1}{5}(y - 1 + v) \] En multipliant chaque côté par 5, cela donne : \[ 5(y - 1) = y - 1 + v \\ 4y - 5 - v = 0 \\ 4y - v = 5 \quad \text{(Équation 2)} \] Nous avons maintenant un système d'équations : 1) \( 3y - v = 1 \) 2) \( 4y - v = 5 \) En soustrayant l'équation 1 de l'équation 2 : \[ (4y - v) - (3y - v) = 5 - 1 \\ 4y - 3y = 4 \\ y = 4 \] En substituant \( y \) dans l'une des équations pour trouver \( v \). Prenons l’équation 1 : \[ 3(4) - v = 1 \\ 12 - v = 1 \\ v = 11 \] Ainsi, la boîte contient **11 billes vertes**.