Calcule la valeur moyenne de la fonction sur
lintervalle 1 dans chaque cas
a) et
b) et

Ask by Lee Norris. in Côte d'Ivoire

Mar 28,2025

Question

Calcule la valeur moyenne de la fonction $$ f $$ sur lintervalle 1 dans chaque cas a) $$ I=[2 ; 5] $$ et $$ f(x)=\frac{1}{x+1} $$ b) $$ I=[-1 ; 4] $$ et $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Soit la valeur moyenne de la fonction $$ f $$ sur un intervalle $$ I=[a,b] $$ donnée par la formule
$$
\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx.
$$

### a) Pour $$ I=[2,5] $$ et $$ f(x)=\frac{1}{x+1} $$

1. La longueur de l’intervalle est
   $$
   5 - 2 = 3.
   $$

2. Calculons l'intégrale
   $$
   \int_{2}^{5} \frac{1}{x+1}\, dx.
   $$
   Posons $$ u = x+1 $$ alors $$ du = dx $$.  
   Lorsque $$ x = 2 $$, on a $$ u = 3 $$ et lorsque $$ x = 5 $$, $$ u = 6 $$.

3. L’intégrale devient
   $$
   \int_{3}^{6} \frac{1}{u}\, du = \left[ \ln|u| \right]_{3}^{6} = \ln 6 - \ln 3 = \ln \left(\frac{6}{3}\right) = \ln 2.
   $$

4. La valeur moyenne est donc
   $$
   \bar{f} = \frac{1}{3} \ln 2.
   $$

---

### b) Pour $$ I=[-1,4] $$ et $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$

1. La longueur de l’intervalle est
   $$
   4 - (-1) = 5.
   $$

2. Calculons l'intégrale
   $$
   \int_{-1}^{4} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx.
   $$
   Posons $$ u = 1+x^2 $$ alors $$ du = 2x\, dx $$, donc $$ x\, dx = \frac{du}{2} $$.  
   Lorsque $$ x = -1 $$, on a $$ u = 1+(-1)^2 = 2 $$ et lorsque $$ x = 4 $$, $$ u = 1+4^2 = 17 $$.

3. L’intégrale se transforme en
   $$
   \int_{2}^{17} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{17} u^{-\frac{1}{2}}\, du.
   $$
   La primitive de $$ u^{-\frac{1}{2}} $$ est
   $$
   \int u^{-\frac{1}{2}}\, du = 2u^{\frac{1}{2}}.
   $$
   Ainsi,
   $$
   \frac{1}{2} \int_{2}^{17} u^{-\frac{1}{2}}\, du = \frac{1}{2} \cdot \left[ 2u^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{17} = \left[ u^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{17} = \sqrt{17} - \sqrt{2}.
   $$

4. La valeur moyenne est donc
   $$
   \bar{f} = \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}).
   $$

---

Les réponses finales sont :

a) $$ \bar{f} = \frac{1}{3} \ln 2 $$  
b) $$ \bar{f} = \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}) $$
a) La valeur moyenne de $$ f(x) = \frac{1}{x+1} $$ sur $$[2,5]$$ est $$ \frac{1}{3} \ln 2 $$. b) La valeur moyenne de $$ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$ sur $$[-1,4]$$ est $$ \frac{1}{5} (\sqrt{17} - \sqrt{2}) $$.

Calcule la valeur moyenne de la fonction sur
lintervalle 1 dans chaque cas
a) et
b) et

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

a) Pour et

b) Pour et

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Calcule la valeur moyenne de la fonction sur lintervalle 1 dans chaque cas a) et b) et