4) Determina los puntos por donde la función \( f(x)=2 x^{2} \) \( +6 x-36 \) cruza al eje \( x \) A. \( (0,6) \) y \( (0,-3) \) B. \( (0,-6) \) y \( (0,3) \) C. \( (-6,0) \) y \( (3,0) \) D. \( (6,0) \) y \( (-3,0) \)

Para determinar los puntos donde la función \( f(x) = 2x^2 + 6x - 36 \) cruza el eje \( x \), necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales \( f(x) = 0 \). Esto significa que debemos resolver la ecuación: \[ 2x^2 + 6x - 36 = 0 \] ### Paso 1: Simplificar la ecuación Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por 2: \[ x^2 + 3x - 18 = 0 \] ### Paso 2: Factorizar la ecuación Buscamos dos números que multiplicados den \(-18\) y sumados den \(3\). Estos números son \(6\) y \(-3\). Por lo tanto, podemos factorizar la ecuación como: \[ (x + 6)(x - 3) = 0 \] ### Paso 3: Encontrar las soluciones Ahora, igualamos cada factor a cero: 1. \( x + 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = -6\) 2. \( x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow x = 3\) ### Paso 4: Determinar los puntos de intersección Los puntos donde la función cruza el eje \( x \) son: - Para \( x = -6 \), \( f(-6) = 0 \) \(\Rightarrow (-6, 0)\) - Para \( x = 3 \), \( f(3) = 0 \) \(\Rightarrow (3, 0)\) ### Respuesta Por lo tanto, los puntos por donde la función cruza el eje \( x \) son \( (-6, 0) \) y \( (3, 0) \). La opción correcta es: **C. \( (-6,0) \) y \( (3,0) \)**.