94 Déterminer les limites de ces fonction en $$ -\infty $$ et en $$ +\infty $$ a) $$ f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} $$ b) $$ g: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+x $$ c) $$ h: x \mapsto \mathrm{e}^{2 x}-x \mathrm{e}^{x}+1 $$ d) $$ k: x \mapsto x^{4}-2 x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2} $$

Question

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Pour déterminer les limites des fonctions données en $$ -\infty $$ et en $$ +\infty $$, nous allons analyser chaque fonction séparément.

### a) $$ f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} $$

1. **Limite en $$ +\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}
   $$
   Comme $$ \mathrm{e}^{x} $$ croît beaucoup plus vite que $$ x $$, on a :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
   $$

2. **Limite en $$ -\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}
   $$
   Ici, $$ \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$ et $$ x $$ tend vers $$ -\infty $$, donc :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0
   $$

### b) $$ g(x) = \mathrm{e}^{x} + x $$

1. **Limite en $$ +\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^{x} + x)
   $$
   Comme $$ \mathrm{e}^{x} $$ croît beaucoup plus vite que $$ x $$, on a :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty
   $$

2. **Limite en $$ -\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} (\mathrm{e}^{x} + x)
   $$
   Ici, $$ \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$ et $$ x $$ tend vers $$ -\infty $$, donc :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty
   $$

### c) $$ h(x) = \mathrm{e}^{2x} - x \mathrm{e}^{x} + 1 $$

1. **Limite en $$ +\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^{2x} - x \mathrm{e}^{x} + 1)
   $$
   Ici, $$ \mathrm{e}^{2x} $$ croît beaucoup plus vite que $$ x \mathrm{e}^{x} $$, donc :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty
   $$

2. **Limite en $$ -\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (\mathrm{e}^{2x} - x \mathrm{e}^{x} + 1)
   $$
   Ici, $$ \mathrm{e}^{2x} $$ tend vers $$ 0 $$, $$ x \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$ (car $$ x $$ est négatif et $$ \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$), donc :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} h(x) = 1
   $$

### d) $$ k(x) = x^{4} - 2x \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{2} $$

1. **Limite en $$ +\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} k(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^{4} - 2x \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{2})
   $$
   Ici, $$ -2x \mathrm{e}^{x} $$ croît beaucoup plus vite que $$ x^{4} $$, donc :
   $$
   \lim_{x \to +\infty} k(x) = -\infty
   $$

2. **Limite en $$ -\infty $$** :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} k(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^{4} - 2x \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{2})
   $$
   Ici, $$ x^{4} $$ tend vers $$ +\infty $$ et $$ -2x \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$ (car $$ \mathrm{e}^{x} $$ tend vers $$ 0 $$), donc :
   $$
   \lim_{x \to -\infty} k(x) = +\infty
   $$

### Résumé des limites :
- $$ f(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 $$
- $$ g(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty $$
- $$ h(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} h(x) = 1 $$
- $$ k(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} k(x) = -\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} k(x) = +\infty $$
- $$ f(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 $$ - $$ g(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty $$ - $$ h(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} h(x) = 1 $$ - $$ k(x) $$ : $$ \lim_{x \to +\infty} k(x) = -\infty $$, $$ \lim_{x \to -\infty} k(x) = +\infty $$

94 Déterminer les limites de ces fonction en \( -\infty \) et en \( +\infty \) a) \( f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} \) b) \( g: x \mapsto \mathrm{e}^{x}+x \) c) \( h: x \mapsto \mathrm{e}^{2 x}-x \mathrm{e}^{x}+1 \) d) \( k: x \mapsto x^{4}-2 x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2} \)

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