25. Sous le plan $$ 2 x+y+z=4 $$ et au-dessus du disque $$ x^{2}+y^{2} \leq 1 $$

Question

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Soit le solide défini sous le plan $$2x+y+z=4$$ et au-dessus du disque $$x^2+y^2\leq 1$$. Pour trouver son volume, nous pouvons procéder de la manière suivante.

**1. Expression de $$z$$ en fonction de $$x$$ et $$y$$**

Le plan est donné par  
$$
2x + y + z = 4.
$$
On exprime $$z$$ :  
$$
z = 4 - 2x - y.
$$

**2. Définition du volume**

Le volume $$V$$ du solide est donné par l’intégrale double  
$$
V = \iint_D z\, dx\,dy = \iint_D (4 - 2x - y)\, dx\,dy,
$$
où $$D$$ est le disque défini par  
$$
x^2+y^2\leq1.
$$

**3. Passage aux coordonnées polaires**

On utilise les transformations  
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
$$
avec $$0\le r\le 1$$ et $$0\le \theta \le 2\pi$$.  
L’intégrale s’écrit alors  
$$
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \left[4 - 2r\cos\theta - r\sin\theta\right]r\, dr\, d\theta.
$$

**4. Calcul de l’intégrale radiale**

On écrit l’intégrale intérieure en $$r$$ pour un $$\theta$$ fixé :  
$$
I(\theta) = \int_{0}^{1} \left[4r - 2r^2\cos\theta - r^2\sin\theta\right] dr.
$$
On calcule terme par terme :

- Pour $$4r$$ :  
$$
\int_{0}^{1} 4r\, dr = 4\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{1} = 4\cdot\frac{1}{2} = 2.
$$

- Pour $$-2r^2\cos\theta$$ :  
$$
\int_{0}^{1} -2r^2\cos\theta\, dr = -2\cos\theta \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = -\frac{2}{3}\cos\theta.
$$

- Pour $$-r^2\sin\theta$$ :  
$$
\int_{0}^{1} -r^2\sin\theta\, dr = -\sin\theta \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = -\frac{1}{3}\sin\theta.
$$

Ainsi,  
$$
I(\theta) = 2 - \frac{2}{3}\cos\theta - \frac{1}{3}\sin\theta.
$$

**5. Intégration en $$\theta$$**

Le volume s’écrit donc  
$$
V = \int_{0}^{2\pi}\left(2 - \frac{2}{3}\cos\theta - \frac{1}{3}\sin\theta\right)d\theta.
$$
On décompose l’intégrale :

- Intégrale de $$2$$ :  
$$
\int_{0}^{2\pi} 2\, d\theta = 2\cdot (2\pi)= 4\pi.
$$

- Intégrale de $$\cos\theta$$ sur $$[0,2\pi]$$ :  
$$
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\, d\theta = 0.
$$

- Intégrale de $$\sin\theta$$ sur $$[0,2\pi]$$ :  
$$
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\, d\theta = 0.
$$

On obtient donc  
$$
V = 4\pi - \frac{2}{3}\cdot 0 - \frac{1}{3}\cdot 0 = 4\pi.
$$

**Réponse finale :**  
Le volume du solide est  
$$
V = 4\pi.
$$
Le volume du solide est $$4\pi$$.

25. Sous le plan \( 2 x+y+z=4 \) et au-dessus du disque \( x^{2}+y^{2} \leq 1 \)

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