2. \( y=\frac{x+2}{x-3} \)

1. **Область определения** Функция имеет вид \[ y=\frac{x+2}{x-3}. \] Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому: \[ x-3\neq 0 \quad \Rightarrow \quad x\neq 3. \] Таким образом, область определения: \( x\in\mathbb{R},\; x\neq 3 \). 2. **Нули функции** Найдем нули функции, приравнивая числитель к нулю: \[ x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2. \] Таким образом, функция пересекает ось \( x \) в точке \( (-2, 0) \). 3. **Пересечение с осью \( y \)** Вычислим значение функции при \( x=0 \): \[ y=\frac{0+2}{0-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}. \] Таким образом, функция пересекает ось \( y \) в точке \( \left(0, -\frac{2}{3}\right) \). 4. **Вертикальная асимптота** Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель стремится к нулю (при условии, что числитель не равен нулю). При \( x=3 \) знаменатель равен нулю, а числитель \( 3+2=5\neq 0 \). Значит, у функции есть вертикальная асимптота: \[ x=3. \] 5. **Горизонтальная асимптота** Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба — первая степень), горизонтальная асимптота определяется отношением старших коэффициентов числителя и знаменателя. Для числителя коэффициент при \( x \) равен \( 1 \), для знаменателя — также \( 1 \). Тогда: \[ y=\frac{1}{1}=1. \] Таким образом, горизонтальная асимптота: \( y=1 \). 6. **Дополнительное замечание о поведении функции** При \( x \to \pm\infty \) функция стремится к значению \( y=1 \) (горизонтальная асимптота). При приближении \( x \) к значению \( 3 \) функция уходит к \( \pm\infty \) в зависимости от направления, что соответствует вертикальной асимптоте \( x=3 \). Таким образом, функция \( y=\frac{x+2}{x-3} \) имеет: - Область определения: \( x\in\mathbb{R}, \; x\neq 3 \). - Ноль при \( x=-2 \). - Пересечение с осью \( y \) при \( y=-\frac{2}{3} \). - Вертикальную асимптоту \( x=3 \). - Горизонтальную асимптоту \( y=1 \).