A) Es crea una ona harmónica de 3 cm d'amplitud a la superlicie de l'aigua d'un canal. Les crestes consecutives de lona estan separades 20 cm i es propaguen a \( 0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). a) Escriu r'equació general d'una ona harmonica que es propaga cap a la dreta amb la pertorbació positiva maxima a l'origen de coordenades a \( t=0 \) i lequació particular de l'ona a la superficie de l'aigua descrita abans. \( (0,8 \) punts). b) Argumenta quin serà el valor de la pertorbació del nivell de laigua d'un punt de la superficie desprós de \( 0,4 \mathrm{~s} \) d'haver estat en una cresta. ( 0,5 punts) c) Calcula el temps que ha de passar des que un punt està en una cresta fins que s'ha desplaçat \( 4,5 \mathrm{~cm} \) des de la cresta cap a baix. ( 0,7 punts)

Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos indicados. ### A) Ecuación general de la onda armónica 1. **Extraer las condiciones conocidas:** - Amplitud \( A = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m} \) - Separación entre crestas \( \lambda = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m} \) - Velocidad de propagación \( v = 0.25 \, \text{m/s} \) 2. **Ecuación general de la onda armónica:** La forma general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha es: \[ y(x, t) = A \sin\left(kx - \omega t\right) \] donde: - \( k \) es el número de onda, dado por \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) - \( \omega \) es la frecuencia angular, dada por \( \omega = \frac{2\pi f}{T} \) y relacionada con la velocidad \( v \) por \( v = f \lambda \) 3. **Calcular \( k \) y \( \omega \):** - Primero, calculamos la frecuencia \( f \): \[ f = \frac{v}{\lambda} = \frac{0.25}{0.2} = 1.25 \, \text{Hz} \] - Ahora, calculamos \( \omega \): \[ \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1.25 \] - Y \( k \): \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.2} \] 4. **Sustituyendo los valores en la ecuación:** La ecuación particular de la onda en la superficie del agua, con la perturbación positiva máxima en el origen a \( t=0 \), es: \[ y(x, t) = 0.03 \sin\left(\frac{2\pi}{0.2} x - 2\pi \cdot 1.25 t\right) \] ### B) Perturbación del nivel del agua después de \( 0.4 \, \text{s} \) 1. **Calcular la posición de la onda en \( t = 0.4 \, \text{s} \):** La distancia que la onda ha recorrido en \( 0.4 \, \text{s} \) es: \[ d = v \cdot t = 0.25 \cdot 0.4 \] 2. **Calcular la posición \( x \):** \[ x = d = 0.25 \cdot 0.4 = 0.1 \, \text{m} \] 3. **Sustituyendo en la ecuación de la onda:** Ahora, sustituimos \( x = 0.1 \, \text{m} \) y \( t = 0.4 \, \text{s} \) en la ecuación de la onda para encontrar la perturbación: \[ y(0.1, 0.4) = 0.03 \sin\left(\frac{2\pi}{0.2} \cdot 0.1 - 2\pi \cdot 1.25 \cdot 0.4\right) \] ### C) Tiempo para desplazarse \( 4.5 \, \text{cm} \) hacia abajo 1. **Desplazamiento desde la cresta:** Queremos encontrar el tiempo \( t \) cuando la perturbación es \( -0.045 \, \text{m} \) (4.5 cm hacia abajo). 2. **Usar la ecuación de la onda:** \[ -0.045 = 0.03 \sin\left(kx - \omega t\right) \] 3. **Resolver para \( t \):** Primero, calculamos el ángulo: \[ \sin\left(kx - \omega t\right) = -\frac{0.045}{0.03} \] Luego, resolvemos para \( t \). Ahora procederé a realizar los cálculos necesarios para obtener los resultados finales. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(2\pi \times 1.25\) - step1: Multiply the terms: \(2.5\pi \) - step2: Simplify: \(7.853982\) Calculate or simplify the expression \( 2*\pi/0.2 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{2\pi }{0.2}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{2\pi }{\frac{1}{5}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(2\pi \times 5\) - step3: Multiply the terms: \(10\pi \) Calculate or simplify the expression \( 0.03*\sin((2*\pi/0.2)*0.1 - (2*\pi*1.25)*0.4) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(0.03\sin\left(\left(\frac{2\pi }{0.2}\right)\times 0.1-\left(2\pi \times 1.25\right)\times 0.4\right)\) - step1: Remove the parentheses: \(0.03\sin\left(\left(\frac{2\pi }{0.2}\right)\times 0.1-2\pi \times 1.25\times 0.4\right)\) - step2: Divide the numbers: \(0.03\sin\left(10\pi \times 0.1-2\pi \times 1.25\times 0.4\right)\) - step3: Multiply the terms: \(0.03\sin\left(\pi -2\pi \times 1.25\times 0.4\right)\) - step4: Multiply the terms: \(0.03\sin\left(\pi -\pi \right)\) - step5: Subtract the numbers: \(0.03\sin\left(0\right)\) - step6: Calculate: \(0.03\times 0\) - step7: Multiply the numbers: \(0\) Calculate or simplify the expression \( 0.25*0.4 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(0.25\times 0.4\) - step1: Multiply the numbers: \(0.1\) ### Resultados de los cálculos 1. **Número de onda \( k \):** \[ k = \frac{2\pi}{0.2} \approx 31.42 \, \text{rad/m} \] 2. **Frecuencia angular \( \omega \):** \[ \omega = 2\pi \cdot 1.25 \approx 7.85 \, \text{rad/s} \] 3. **Distancia recorrida por la onda en \( 0.4 \, \text{s} \):** \[ d = 0.25 \cdot 0.4 = 0.1 \, \text{m} \] 4. **Perturbación del nivel del agua en \( t = 0.4 \, \text{s} \):** \[ y(0.1, 0.4) = 0.03 \sin\left(31.42 \cdot 0.1 - 7.85 \cdot 0.4\right) = 0 \] Esto significa que en \( t = 0.4 \, \text{s} \), el nivel del agua está en su posición de equilibrio (0 m). ### C) Tiempo para desplazarse \( 4.5 \, \text{cm} \) hacia abajo Para encontrar el tiempo \( t \) cuando la perturbación es \( -0.045 \, \text{m} \): 1. **Ecuación:** \[ -0.045 = 0.03 \sin\left(31.42 x - 7.85 t\right) \] Esto implica que: \[ \sin\left(31.42 x - 7.85 t\right) = -\frac{0.045}{0.03} = -1.5 \] Sin embargo, el rango de la función seno es de \([-1, 1]\), por lo que no hay un tiempo \( t \) en el que la perturbación sea exactamente \( -0.045 \, \text{m} \). ### Resumen de las respuestas - **a)** La ecuación general de la onda es: \[ y(x, t) = 0.03 \sin\left(31.42 x - 7.85 t\right) \] - **b)** La perturbación del nivel del agua después de \( 0.4 \, \text{s} \) es \( 0 \, \text{m} \) (posición de equilibrio). - **c)** No es posible que un punto se desplace \( 4.5 \, \text{cm} \) hacia abajo, ya que la función seno no puede alcanzar ese valor.