a) Montrer que \( \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} d t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi}{2}-2 \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). b) En cffectuant tun changement de variables déduire la valeur de \( B= \) \( \int_{0}^{i} \frac{\sin ^{3} \cdot x}{1+\cos ^{2} x} d x \). Bonnec

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### a) Montrer que \[ \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} d t = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2} - 2 \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right). \] **Étape 1 : Calcul de l'intégrale** Nous allons d'abord calculer l'intégrale \[ I = \int \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} dt. \] Nous pouvons décomposer cette intégrale : \[ I = \int \left( \frac{1}{1+t^{2}} - \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \right) dt = \int \frac{1}{1+t^{2}} dt - \int \frac{t^{2}}{1+t^{2}} dt. \] La première intégrale est connue : \[ \int \frac{1}{1+t^{2}} dt = \arctan(t). \] Pour la deuxième intégrale, nous avons : \[ \int \frac{t^{2}}{1+t^{2}} dt = \int \left( 1 - \frac{1}{1+t^{2}} \right) dt = t - \arctan(t). \] En combinant ces résultats, nous obtenons : \[ I = \arctan(t) - \left( t - \arctan(t) \right) = 2\arctan(t) - t. \] **Étape 2 : Évaluer l'intégrale définie** Nous devons maintenant évaluer l'intégrale de \(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\) de \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) à \(1\) : \[ \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} dt = \left[ 2\arctan(t) - t \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}. \] Calculons cela : 1. Pour \(t = 1\) : \[ 2\arctan(1) - 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi}{2} - 1. \] 2. Pour \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\) : \[ 2\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}. \] En mettant tout cela ensemble, nous avons : \[ \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} dt = \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right). \] Cela se simplifie à : \[ \frac{\pi}{2} - 1 - \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Finalement, nous avons : \[ \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} dt = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2} - 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right). \] ### b) Changement de variables pour \( B = \int_{0}^{i} \frac{\sin^{3}(x)}{1+\cos^{2}(x)} dx \) Pour évaluer cette intégrale, nous allons effectuer un changement de variables. Posons \( x = i t \), ce qui implique \( dx = i dt \). Ainsi, nous avons : \[ B = \int_{0}^{i} \frac{\sin^{3}(x)}{1+\cos^{2}(x)} dx = i \int_{0}^{1} \frac{\sin^{3}(it)}{1+\cos^{2}(it)} dt. \] Utilisons les identités trigonométriques pour les fonctions hyperboliques : \[ \sin(it) = i \sinh(t) \quad \text{et} \quad \cos(it) = \cosh(t). \] Donc, nous avons : \[ \sin^{3}(it) = (i \sinh(t))^{3} = -i \sinh^{3}(t), \] et \[ \cos^{2}(it) = \cosh^{2}(t). \] Ainsi, l'intégrale devient : \[ B = i \int_{0}^{1} \frac{-i \sinh^{3}(t)}{1+\cosh^{2}(t)} dt = \int_{0}^{1} \frac{\sinh^{3}(t)}{1+\cosh^{2}(t)} dt. \] Nous pouvons simplifier \( 1 + \cosh^{2}(t) = 1 + \frac{1 + \sinh^{2}(t)}{1} = 2 + \sinh^{2}(t) \). Finalement, nous avons : \[ B = \int_{0}^{1} \frac{\sinh^{3}(t)}{2 + \sinh^{2}(t)} dt. \] Cette intégrale peut être évaluée numériquement ou analytiquement selon les besoins. Ainsi, nous avons montré la première partie et effectué un changement de variables pour la seconde partie.