$$ z=0 $$ dans le premier octant 27. Borné par le cylindre $$ x^{2}+y^{2}=1 $$ et les plans $$ y=z, x=0 $$, $$ z=0 $$ dans le premier octant

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord comprendre la région décrite par les conditions données. Voici les étapes à suivre :

1. **Identifier les surfaces et les limites** :
   - Le cylindre $$ x^2 + y^2 = 1 $$ est un cylindre de rayon 1 centré sur l'axe $$ z $$.
   - Le plan $$ y = z $$ est une surface inclinée qui monte à partir de l'axe $$ y $$.
   - Le plan $$ x = 0 $$ est le plan $$ yz $$ (le plan vertical où $$ x $$ est constant à 0).
   - Le plan $$ z = 0 $$ est le plan $$ xy $$ (le plan horizontal).

2. **Déterminer la région dans le premier octant** :
   - Dans le premier octant, $$ x $$, $$ y $$, et $$ z $$ sont tous positifs.
   - La région est donc limitée par le cylindre, le plan $$ y = z $$, et les plans $$ x = 0 $$ et $$ z = 0 $$.

3. **Visualiser la région** :
   - La région est un volume qui se trouve à l'intérieur du cylindre, au-dessus du plan $$ z = 0 $$, et en dessous du plan $$ y = z $$.
   - Le cylindre coupe le plan $$ z = 0 $$ en un cercle de rayon 1.

4. **Établir les limites d'intégration** :
   - Pour $$ z $$, les limites vont de $$ 0 $$ à $$ y $$ (puisque $$ z $$ est limité par le plan $$ y = z $$).
   - Pour $$ y $$, les limites vont de $$ 0 $$ à $$ \sqrt{1 - x^2} $$ (puisque $$ y $$ est limité par le cylindre).
   - Pour $$ x $$, les limites vont de $$ 0 $$ à $$ 1 $$ (puisque nous sommes dans le premier octant et le cylindre a un rayon de 1).

5. **Écrire l'intégrale triple** :
   L'intégrale pour le volume $$ V $$ de la région est donnée par :
   $$
   V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} \int_{0}^{y} dz \, dy \, dx
   $$

6. **Calculer l'intégrale** :
   Nous allons maintenant calculer cette intégrale étape par étape.

- D'abord, intégrons par rapport à $$ z $$ :
   $$
   \int_{0}^{y} dz = y
   $$

- Ensuite, nous intégrons par rapport à $$ y $$ :
   $$
   \int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{(1 - x^2)}{2}
   $$

- Enfin, nous intégrons par rapport à $$ x $$ :
   $$
   V = \int_{0}^{1} \frac{(1 - x^2)}{2} \, dx
   $$

Calculons cette dernière intégrale :
   $$
   V = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
   $$

7. **Conclusion** :
   Le volume de la région décrite est $$ \frac{1}{3} $$.
La région est définie par le cylindre $$ x^2 + y^2 = 1 $$, le plan $$ y = z $$, et les plans $$ x = 0 $$ et $$ z = 0 $$ dans le premier octant. En intégrant, le volume de cette région est $$ \frac{1}{3} $$.

\( z=0 \) dans le premier octant 27. Borné par le cylindre \( x^{2}+y^{2}=1 \) et les plans \( y=z, x=0 \), \( z=0 \) dans le premier octant

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