Hallar el angulo de corte ente: 1) $$ y=x \operatorname{Ln} x $$ 2) $$ y=x \ln (1-x) $$

Question

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Consideremos las curvas

$$
f(x)=x\ln x \quad \text{y} \quad g(x)=x\ln(1-x).
$$

**1. Punto de intersección**

Para hallar el ángulo de corte debemos obtener el punto $$P$$ en el que se intersectan, es decir, donde

$$
x\ln x = x\ln(1-x).
$$

Si $$x\neq 0$$ podemos dividir por $$x$$ y obtener

$$
\ln x = \ln(1-x).
$$

Recordando que la función logarítmica es inyectiva, se tiene

$$
x = 1-x \quad \Longrightarrow \quad 2x = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{2}.
$$

Por lo tanto, el punto de intersección es

$$
P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}\right).
$$

**2. Derivadas de las funciones**

El ángulo de corte entre las curvas se determina por el ángulo entre sus tangentes en $$P$$. Así, hallamos las derivadas.

Para $$f(x)=x\ln x$$:

$$
f'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x+1.
$$

Evaluando en $$x=\frac{1}{2}$$:

$$
m_1=f'\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)+1=-\ln2+1.
$$

Para $$g(x)=x\ln(1-x)$$:

Usamos la regla del producto y la derivada de $$\ln(1-x)$$ (recordando que $$\frac{d}{dx}\ln (1-x)=-\frac{1}{1-x}$$):

$$
g'(x)=\ln(1-x)+x\left(-\frac{1}{1-x}\right)=\ln(1-x)-\frac{x}{1-x}.
$$

Evaluamos en $$x=\frac{1}{2}$$:

$$
m_2=g'\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-1.
$$

Dado que $$\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln2$$, se tiene

$$
m_2=-\ln2-1.
$$

**3. Cálculo del ángulo de intersección**

El ángulo $$\theta$$ entre dos rectas de pendientes $$m_1$$ y $$m_2$$ se obtiene mediante

$$
\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|.
$$

Sustituyamos los valores hallados:

- Diferencia de pendientes:

$$
m_1-m_2=(1-\ln2)-(-\ln2-1)=1-\ln2+\ln2+1=2.
$$

- Producto de pendientes:

$$
m_1m_2=(1-\ln2)(-1-\ln2).
$$

Expandamos el producto:

$$
(1-\ln2)(-1-\ln2)=-1-\ln2+\ln2+\ln^2 2=\ln^2 2-1.
$$

Por lo tanto, el denominador queda

$$
1+m_1m_2=1+(\ln^2 2-1)=\ln^2 2.
$$

Entonces

$$
\tan\theta=\frac{2}{\ln^2 2}.
$$

Finalmente, el ángulo de corte es

$$
\theta=\arctan\left(\frac{2}{\ln^2 2}\right).
$$
El ángulo de corte entre las curvas $$ y = x \ln x $$ y $$ y = x \ln(1 - x) $$ en el punto $$ P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}\right) $$ es $$ \theta = \arctan\left(\frac{2}{\ln^2 2}\right) $$.

Hallar el angulo de corte ente: 1) \( y=x \operatorname{Ln} x \) 2) \( y=x \ln (1-x) \)

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