1. Какая из функций лвляется линейной: \( y=\frac{x(x+2)}{x} \), \( y=\frac{x+4}{3}, y=\frac{6}{x+6}, y=\frac{x+3}{x} \) ? 2. Найдите значение аргумента, при котором значение линейной функции \( y=3 x+2 \) равно 8 . 3. Найдите координаты точек пересечения графика функции \( y=-3 x+12 \) с осями координат. 4. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: \( y=1,5 x \) и \( y=-0,5 x+1 \). 5. График прямой пропорциональности параллелен гра- фику функции \( y=4 x+2 \). Задайте эту функцию фор- мулой. 6. Постройте график линейной функции \( y=1,5 x+3 \). С помощью графика определите: а) значения переменной \( x \), при которых график функ- ции лежит выше оси Ох; б) наименьшее наибольшее значения функции на отрезке [0; 4].

Alright, I need to tackle these six questions related to linear functions. Let's go through them one by one, making sure to understand each part thoroughly. **1. Какая из функций является линейной: \( y=\frac{x(x+2)}{x} \), \( y=\frac{x+4}{3} \), \( y=\frac{6}{x+6} \), \( y=\frac{x+3}{x} \)?** First, I need to determine which of these functions is linear. A linear function has the form \( y = mx + b \), where \( m \) and \( b \) are constants. Let's simplify each function: - \( y = \frac{x(x+2)}{x} \): Simplifying this, \( y = x + 2 \), which is linear. - \( y = \frac{x+4}{3} \): This simplifies to \( y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \), which is also linear. - \( y = \frac{6}{x+6} \): This is a reciprocal function, not linear. - \( y = \frac{x+3}{x} \): Simplifying, \( y = 1 + \frac{3}{x} \), which is not linear. So, the linear functions are the first two. **2. Найдите значение аргумента, при котором значение линейной функции \( y=3x+2 \) равно 8.** We need to find \( x \) such that \( 3x + 2 = 8 \). Subtracting 2 from both sides gives \( 3x = 6 \), so \( x = 2 \). **3. Найдите координаты точек пересечения графика функции \( y=-3x+12 \) с осями координат.** First, find the x-intercept by setting \( y = 0 \): \( 0 = -3x + 12 \) → \( x = 4 \). So, the x-intercept is at (4, 0). Next, find the y-intercept by setting \( x = 0 \): \( y = -3(0) + 12 \) → \( y = 12 \). So, the y-intercept is at (0, 12). **4. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: \( y=1,5x \) и \( y=-0,5x+1 \).** Set the two equations equal to find the intersection point: \( 1.5x = -0.5x + 1 \) Adding \( 0.5x \) to both sides: \( 2x = 1 \) So, \( x = 0.5 \). Plugging \( x = 0.5 \) back into \( y = 1.5x \): \( y = 1.5 \times 0.5 = 0.75 \). Thus, the intersection point is (0.5, 0.75). **5. График прямой пропорциональности параллелен графику функции \( y=4x+2 \). Задайте эту функцию формулой.** A direct proportionality function has the form \( y = kx \), where \( k \) is a constant. Since it's parallel to \( y = 4x + 2 \), which has a slope of 4, the new function will also have a slope of 4. Therefore, the function is \( y = 4x \). **6. Постройте график линейной функции \( y=1,5x+3 \). С помощью графика определите: а) значения переменной \( x \), при которых график функции лежит выше оси Ох; б) наименьшее наибольшее значения функции на отрезке [0; 4].** First, let's plot the function \( y = 1.5x + 3 \). - When \( x = 0 \), \( y = 3 \). - When \( x = 4 \), \( y = 1.5 \times 4 + 3 = 9 \). So, the graph passes through (0, 3) and (4, 9). **a) значения переменной \( x \), при которых график функции лежит выше оси Ох:** The function \( y = 1.5x + 3 \) is always above the x-axis because the slope is positive and the y-intercept is 3. Therefore, for all real numbers \( x \), \( y > 0 \). **b) наименьшее наибольшее значения функции на отрезке [0; 4]:** The function is increasing since the slope is positive. Therefore, the minimum value occurs at the left endpoint of the interval, and the maximum at the right endpoint. - Minimum value at \( x = 0 \): \( y = 3 \). - Maximum value at \( x = 4 \): \( y = 9 \). So, the function's range on [0, 4] is [3, 9].