Un patinador en el parque realiza los siguientes desplazamientos: $$ A=6 \mathrm{~m} $$ NorEste, $$ B=8 \mathrm{~m} $$ Oeste, $$ C=15 \mathrm{~m}-140^{\circ} $$ y $$ D=10 \mathrm{~m} 30^{\circ} $$ Este Sur.¿Cuál es la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante? Seleccione una: - a. $$ R=12,3 \mathrm{~m} 57,6^{\circ} $$ SurOeste b. $$ R=17,4 \mathrm{~m} 53,9^{\circ} $$ SurOeste c. $$ R=15,2 \mathrm{~m} 22,2^{\circ} $$ SurEste d. $$ R=15,2 \mathrm{~m} 67,8^{\circ} $$ SurEste e. $$ R=17,9 \mathrm{~m} 62,2^{\circ} $$ SurOeste

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Considere la siguiente notación, con el eje $$ x $$ positivo hacia el Este y el eje $$ y $$ positivo hacia el Norte.

### 1. Descomposición de cada desplazamiento

**Vector A ($$6\,\mathrm{m}$$ NorEste):**  
Como NorEste significa $$45^{\circ}$$ medido desde el Este, se tiene  
$$
x_A = 6\cos 45^{\circ}=6\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \quad,\quad y_A = 6\sin 45^{\circ}=3\sqrt{2}
$$
Numéricamente, $$3\sqrt{2}\approx4.2426\,\mathrm{m}$$.

**Vector B ($$8\,\mathrm{m}$$ Oeste):**  
Oeste corresponde a $$180^{\circ}$$ (o sentido negativo en $$x$$)
$$
x_B = -8\quad,\quad y_B = 0.
$$

**Vector C ($$15\,\mathrm{m}\,-140^{\circ}$$):**  
El ángulo $$-140^{\circ}$$ se mide desde el Este, en sentido horario. Se tienen:
$$
x_C = 15\cos(-140^{\circ})\quad,\quad y_C = 15\sin(-140^{\circ}).
$$
Observando que:
$$
\cos(-140^{\circ})=\cos(140^{\circ})\quad \text{y}\quad \sin(-140^{\circ})=-\sin(140^{\circ}),
$$
y utilizando que $$\cos 140^{\circ}=-\cos 40^{\circ}$$ y $$\sin 140^{\circ}=\sin 40^{\circ}$$, con $$\cos40^{\circ}\approx0.766$$ y $$\sin40^{\circ}\approx0.643$$, se obtiene:
$$
x_C=15(-0.766)\approx -11.49,\quad y_C=15(-0.643)\approx -9.645.
$$

**Vector D ($$10\,\mathrm{m}\,30^{\circ}$$ Este Sur):**  
La indicación "30° Este Sur" indica un desplazamiento que forma un ángulo de $$30^{\circ}$$ en dirección hacia el Sur a partir del Este, es decir, un ángulo de $$-30^{\circ}$$ medido desde el Este.
$$
x_D=10\cos(-30^{\circ})=10\cos30^{\circ}\quad,\quad y_D=10\sin(-30^{\circ})= -10\sin30^{\circ}.
$$
Como $$\cos30^{\circ}\approx0.866$$ y $$\sin30^{\circ}=0.5$$:
$$
x_D\approx10(0.866)=8.66,\quad y_D\approx-10(0.5)=-5.
$$

### 2. Suma de componentes

**Componente $$x$$:**
$$
x_{\text{total}}=x_A+x_B+x_C+x_D= 3\sqrt{2} + (-8) + (-11.49) +8.66.
$$
Numéricamente,
$$
3\sqrt{2}\approx4.2426,\quad\text{entonces}\quad x_{\text{total}}\approx 4.2426 -8 -11.49+8.66\approx -6.59.
$$

**Componente $$y$$:**
$$
y_{\text{total}}=y_A+y_B+y_C+y_D= 3\sqrt{2}+0+(-9.645)+(-5).
$$
Numéricamente,
$$
y_{\text{total}}\approx 4.2426 -9.645 -5\approx -10.40.
$$

### 3. Magnitud y dirección del desplazamiento resultante

**Magnitud $$R$$:**
$$
R=\sqrt{x_{\text{total}}^2+y_{\text{total}}^2}=\sqrt{(-6.59)^2+(-10.40)^2}=\sqrt{43.44+108.16}\approx\sqrt{151.60}\approx12.3\,\mathrm{m}.
$$

**Dirección:**  
El vector resultante tiene componentes negativas en $$x$$ y $$y$$ (tercer cuadrante), por lo que se encuentra en dirección Sur-Oeste. El ángulo $$\theta$$ medido respecto al Oeste (o al Sur) se puede hallar mediante:
$$
\tan\theta=\frac{|y_{\text{total}}|}{|x_{\text{total}}|}=\frac{10.40}{6.59}\approx1.578,
$$
lo que da:
$$
\theta=\arctan(1.578)\approx57.6^{\circ}.
$$
Esto significa que el vector forma un ángulo de $$57.6^{\circ}$$ al Sur de Oeste.

### 4. Conclusión

La magnitud y dirección del desplazamiento resultante es:
$$
R=12.3\,\mathrm{m}\quad 57.6^{\circ}\ \text{SurOeste}.
$$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción:  
- a. $$ R=12,3 \mathrm{~m} \,57,6^{\circ} $$ SurOeste.
La magnitud del desplazamiento resultante es $$12.3\,\mathrm{m}$$ y su dirección es $$57.6^{\circ}$$ SurOeste.

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