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Solve for \( x \). \[ 7^{-9 x}=12^{-x-7} \] Round your answer to the nearest thousandth Do not round any intermediate computations.

Ask by Davies Osborne. in the United States
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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\( x \approx 1.157 \)

Solución

We start with the equation \[ 7^{-9x} = 12^{-x-7}. \] Observing that the bases are different, we take the natural logarithm of both sides: \[ \ln\left(7^{-9x}\right) = \ln\left(12^{-x-7}\right). \] Using the logarithmic property \(\ln(a^b)=b\ln(a)\), we get: \[ -9x \ln 7 = -(x+7) \ln 12. \] Multiplying both sides by \(-1\) eliminates the negative signs: \[ 9x \ln 7 = (x+7) \ln 12. \] Expand the right-hand side: \[ 9x \ln 7 = x \ln 12 + 7 \ln 12. \] Bring the term \(x \ln 12\) to the left-hand side: \[ 9x \ln 7 - x \ln 12 = 7 \ln 12. \] Factor \(x\) from the left-hand side: \[ x(9\ln 7 - \ln 12) = 7 \ln 12. \] Solve for \(x\): \[ x = \frac{7 \ln 12}{9\ln 7 - \ln 12}. \] Now, we use approximate values for the natural logarithms: \[ \ln 7 \approx 1.94591,\quad \ln 12 \approx 2.48491. \] Substitute these approximations into the formula: \[ x \approx \frac{7 \times 2.48491}{9 \times 1.94591 - 2.48491}. \] Calculate the numerator: \[ 7 \times 2.48491 \approx 17.39437. \] Calculate the denominator: \[ 9 \times 1.94591 \approx 17.51319,\quad 17.51319 - 2.48491 \approx 15.02828. \] Thus, \[ x \approx \frac{17.39437}{15.02828} \approx 1.157. \] Rounded to the nearest thousandth, we have \[ x \approx 1.157. \]

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The Deep Dive

To solve the equation \( 7^{-9x} = 12^{-x-7} \), we can start by taking the natural logarithm of both sides. \[ \ln(7^{-9x}) = \ln(12^{-x-7}) \] Using the logarithmic identity \( \ln(a^b) = b\ln(a) \), we get: \[ -9x \ln(7) = (-x-7) \ln(12) \] Now, let's distribute the right side: \[ -9x \ln(7) = -x \ln(12) - 7 \ln(12) \] Next, we can rearrange the equation to isolate \( x \): \[ -9x \ln(7) + x \ln(12) = -7 \ln(12) \] Factor out \( x \) on the left-hand side: \[ x(-9 \ln(7) + \ln(12)) = -7 \ln(12) \] Now, we can solve for \( x \): \[ x = \frac{-7 \ln(12)}{-9 \ln(7) + \ln(12)} \] To get the numeric value, we will first compute \( \ln(12) \) and \( \ln(7) \): - \( \ln(12) \approx 2.4849 \) - \( \ln(7) \approx 1.9459 \) Now substitute these values into the equation for \( x \): \[ x = \frac{-7 \times 2.4849}{-9 \times 1.9459 + 2.4849} \] Calculating the numerator: \[ -7 \times 2.4849 \approx -17.3943 \] Now, for the denominator: \[ -9 \times 1.9459 \approx -17.5131 \] \[ -17.5131 + 2.4849 \approx -15.0282 \] So we have: \[ x = \frac{-17.3943}{-15.0282} \] Calculating \( x \): \[ x \approx 1.1576 \] Finally, we round this to the nearest thousandth: **The solution is \( x \approx 1.158 \).**

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