Si: \( m=\log _{5} 3 \) y \( n=\log _{5} 2 \) halle \( \log _{3} 72 \)

Para calcular \( \log_{3} 72 \), primero descomponemos 72 en sus factores primos: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \). Utilizando la propiedad de los logaritmos que dice que \( \log_{a}(b \cdot c) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) \), podemos escribir: \[ \log_{3} 72 = \log_{3}(2^3) + \log_{3}(3^2) = 3 \log_{3}(2) + 2 \log_{3}(3) = 3 \log_{3}(2) + 2. \] Ahora, sabemos que \( \log_{3}(2) \) se puede expresar usando el cambio de base en términos de \( m \) y \( n \): \[ \log_{3}(2) = \frac{\log_{5}(2)}{\log_{5}(3)} = \frac{n}{m}. \] Sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos: \[ \log_{3} 72 = 3 \left(\frac{n}{m}\right) + 2. \] Finalmente, esta es la forma que nos permite calcular \( \log_{3} 72 \) en función de \( m \) y \( n \).