7. Find the inverse of the function $$ f(x)=\frac{1}{5} x-2 $$ by switching the roles of $$ x $$ and $$ y $$ and solving for $$ y $$. Then find the inverse of the function $$ f $$ by using inverse operations in the reverse order. Which method do you prefer? Explain.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

要找到函数 $$ f(x) = \frac{1}{5} x - 2 $$ 的反函数，我们可以通过交换 $$ x $$ 和 $$ y $$ 的角色并解出 $$ y $$ 来进行。

### 方法一：交换角色法

1. 首先，将 $$ f(x) $$ 表示为 $$ y $$:
   $$
   y = \frac{1}{5} x - 2
   $$

2. 交换 $$ x $$ 和 $$ y $$:
   $$
   x = \frac{1}{5} y - 2
   $$

3. 解这个方程以找到 $$ y $$:
   - 首先，加上 2:
   $$
   x + 2 = \frac{1}{5} y
   $$

- 然后，乘以 5:
   $$
   5(x + 2) = y
   $$

- 最终得到:
   $$
   y = 5x + 10
   $$

因此，反函数为:
$$
f^{-1}(x) = 5x + 10
$$

### 方法二：逆操作法

我们也可以通过逆操作的方式来找到反函数。我们从 $$ f(x) $$ 开始，逐步应用逆操作。

1. 从 $$ y = \frac{1}{5} x - 2 $$ 开始。
2. 首先，加上 2:
   $$
   y + 2 = \frac{1}{5} x
   $$

3. 然后，乘以 5:
   $$
   5(y + 2) = x
   $$

4. 最终得到:
   $$
   x = 5y + 10
   $$

5. 交换 $$ x $$ 和 $$ y $$:
   $$
   y = 5x + 10
   $$

因此，反函数同样为:
$$
f^{-1}(x) = 5x + 10
$$

### 结论

两种方法都得到了相同的反函数 $$ f^{-1}(x) = 5x + 10 $$。我个人更喜欢第一种方法（交换角色法），因为它在逻辑上更直接，步骤清晰，容易理解。逆操作法虽然也有效，但可能需要更多的步骤和注意力来确保每一步都正确。
要找到函数 $$ f(x) = \frac{1}{5} x - 2 $$ 的反函数，可以使用两种方法： 1. **交换角色法**： - 将 $$ y = \frac{1}{5} x - 2 $$ 中的 $$ x $$ 和 $$ y $$ 交换，得到 $$ x = \frac{1}{5} y - 2 $$。 - 解这个方程，得到 $$ y = 5x + 10 $$。 - 所以反函数是 $$ f^{-1}(x) = 5x + 10 $$。 2. **逆操作法**： - 从 $$ y = \frac{1}{5} x - 2 $$ 开始，先加 2，再乘以 5，得到 $$ x = 5y + 10 $$。 - 交换 $$ x $$ 和 $$ y $$，得到 $$ y = 5x + 10 $$。 - 反函数同样是 $$ f^{-1}(x) = 5x + 10 $$。 **个人偏好**：我更喜欢第一种方法，因为它步骤清晰，容易理解。逆操作法虽然有效，但需要更多的步骤和注意，容易出错。

7. Find the inverse of the function \( f(x)=\frac{1}{5} x-2 \) by switching the roles of \( x \) and \( y \) and solving for \( y \). Then find the inverse of the function \( f \) by using inverse operations in the reverse order. Which method do you prefer? Explain.

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