Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: $$ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array} ight] $$

Question

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace Dada a matriz: $$ \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 3 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 1 & -1 & 1 & -2 \ 4 & -3 & 5 & 1\end{array}ight] $$

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Seja
$$
\mathrm{A}=\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 1 & -1 \
0 & 1 & 2 & 3 \
1 & -1 & 1 & -2 \
4 & -3 & 5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Utilizaremos a expansão de Laplace pela coluna 1, pois nela há um zero. Lembrando que a expansão sobre a coluna 1 é dada por
$$
\det \mathrm{A} = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+1} a_{i1} \det (A_{i1}),
$$
sendo $$A_{i1}$$ a matriz obtida a partir de $$\mathrm{A}$$ removendo-se a linha $$i$$ e a coluna 1. Como $$a_{21}=0$$, temos:
$$
\det \mathrm{A} = (-1)^{1+1}(-2)\det (A_{11}) + (-1)^{3+1}(1)\det (A_{31}) + (-1)^{4+1}(4)\det (A_{41}).
$$
Observando os sinais:
- Para $$i=1$$: $$(-1)^{2}=1$$;
- Para $$i=3$$: $$(-1)^{4}=1$$;
- Para $$i=4$$: $$(-1)^{5}=-1$$.

Portanto,
$$
\det \mathrm{A} = -2\det (A_{11}) + 1\det (A_{31}) - 4\det (A_{41}).
$$

A seguir, calculamos cada um dos determinantes $$3 \times 3$$.

### 1. Cálculo de $$\det (A_{11})$$

Removendo a linha 1 e a coluna 1, a matriz $$A_{11}$$ é
$$
A_{11} =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
-1 & 1 & -2 \
-3 & 5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Utilizando a regra de Sarrus ou fórmula para determinante $$3 \times 3$$:
$$
\det (A_{11}) = 1 \det
\begin{bmatrix}
1 & -2 \
5 & 1
\end{bmatrix}
- 2 \det
\begin{bmatrix}
-1 & -2 \
-3 & 1
\end{bmatrix}
+ 3 \det
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \
-3 & 5
\end{bmatrix}.
$$

Calculando cada menor:
- $$\det \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 5 & 1 \end{bmatrix} = 1\cdot 1 - (-2)\cdot 5 = 1+10=11.$$
- $$\det \begin{bmatrix} -1 & -2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} = (-1)\cdot 1 - (-2)\cdot (-3)= -1-6=-7.$$
- $$\det \begin{bmatrix} -1 & 1 \ -3 & 5 \end{bmatrix} = (-1)\cdot 5 - 1\cdot (-3)= -5+3=-2.$$

Portanto,
$$
\det (A_{11}) = 1\cdot 11 - 2\cdot (-7) + 3\cdot (-2) = 11+14-6=19.
$$

### 2. Cálculo de $$\det (A_{31})$$

Removendo a linha 3 e a coluna 1, obtemos:
$$
A_{31} =
\begin{bmatrix}
3 & 1 & -1 \
1 & 2 & 3 \
-3 & 5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
Então,
$$
\det (A_{31}) = 3\det
\begin{bmatrix}
2 & 3 \
5 & 1
\end{bmatrix}
- 1\det
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
-3 & 1
\end{bmatrix}
+ (-1)\det
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
-3 & 5
\end{bmatrix}.
$$

Calculando os menores:
- $$\det \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 1 \end{bmatrix} = 2\cdot 1 - 3\cdot 5 = 2-15 = -13.$$
- $$\det \begin{bmatrix} 1 & 3 \ -3 & 1 \end{bmatrix} = 1\cdot 1 - 3\cdot (-3) = 1+9 = 10.$$
- $$\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \ -3 & 5 \end{bmatrix} = 1\cdot 5 - 2\cdot (-3) = 5+6 = 11.$$

Assim,
$$
\det (A_{31}) = 3\cdot (-13) - 1\cdot 10 + (-1)\cdot 11 = -39 - 10 - 11 = -60.
$$

### 3. Cálculo de $$\det (A_{41})$$

Removendo a linha 4 e a coluna 1, temos:
$$
A_{41} =
\begin{bmatrix}
3 & 1 & -1 \
1 & 2 & 3 \
-1 & 1 & -2
\end{bmatrix}.
$$
Logo,
$$
\det (A_{41}) = 3\det
\begin{bmatrix}
2 & 3 \
1 & -2
\end{bmatrix}
- 1\det
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
-1 & -2
\end{bmatrix}
+ (-1)\det
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
-1 & 1
\end{bmatrix}.
$$

Calculando os menores:
- $$\det \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & -2 \end{bmatrix} = 2\cdot (-2) - 3\cdot 1 = -4-3=-7.$$
- $$\det \begin{bmatrix} 1 & 3 \ -1 & -2 \end{bmatrix} = 1\cdot (-2) - 3\cdot (-1) = -2+3=1.$$
- $$\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 \end{bmatrix} = 1\cdot 1 - 2\cdot (-1) = 1+2=3.$$

Portanto,
$$
\det (A_{41}) = 3\cdot (-7) - 1\cdot 1 + (-1)\cdot 3 = -21 - 1 - 3 = -25.
$$

### 4. Cálculo final do determinante de $$\mathrm{A}$$

Substituindo os valores encontrados:
$$
\det \mathrm{A} = -2\cdot 19 + (-60) - 4\cdot (-25).
$$

Calculando:
$$
-2\cdot 19 = -38,\quad -38 + (-60) = -98,\quad -4\cdot (-25)= +100,
$$
$$
\det \mathrm{A} = -98+100 = 2.
$$

O determinante da matriz $$\mathrm{A}$$ é, portanto, $$2$$.
O determinante da matriz $$ \mathrm{A} $$ é $$ 2 $$.

Calcule o determinante abaixo pelo método de Laplace
Dada a matriz:

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