El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=\frac{10}{(x+1)(x+2)} \), el eje \( x \) y la rectas \( x=0 \) y \( x=1 \), alrededor de la recta \( x=8 \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y = \frac{10}{(x+1)(x+2)} \), el eje \( x \), y las rectas \( x = 0 \) y \( x = 1 \) alrededor de la recta \( x = 8 \), utilizamos el método de **capas cilíndricas**. ### Paso 1: Configuración del Método de Capas Cilíndricas La fórmula para el volumen utilizando capas cilíndricas es: \[ V = 2\pi \int_{a}^{b} (distancia \, al \, eje) \times (altura) \, dx \] En este caso: - **Distancia al eje de revolución (\( x = 8 \))**: \( 8 - x \) - **Altura de la capa cilíndrica**: \( y = \frac{10}{(x+1)(x+2)} \) - **Límites de integración**: \( x = 0 \) a \( x = 1 \) ### Paso 2: Expresión del Volumen Sustituyendo en la fórmula: \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} (8 - x) \left( \frac{10}{(x+1)(x+2)} \right) dx = 20\pi \int_{0}^{1} \frac{8 - x}{(x+1)(x+2)} \, dx \] ### Paso 3: Descomposición en Fracciones Parciales Para simplificar la integral, descomponemos la fracción: \[ \frac{8 - x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \] Resolviendo para \( A \) y \( B \): \[ 8 - x = A(x + 2) + B(x + 1) \] \[ 8 - x = (A + B)x + (2A + B) \] Igualando coeficientes: \[ A + B = -1 \] \[ 2A + B = 8 \] Resolviendo el sistema: \[ A = 9, \quad B = -10 \] Por lo tanto: \[ \frac{8 - x}{(x+1)(x+2)} = \frac{9}{x+1} - \frac{10}{x+2} \] ### Paso 4: Integración La integral se convierte en: \[ V = 20\pi \left( \int_{0}^{1} \frac{9}{x+1} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{10}{x+2} \, dx \right) \] Integrando: \[ V = 20\pi \left[ 9 \ln(x+1) - 10 \ln(x+2) \right]_{0}^{1} \] Evaluando en los límites: \[ V = 20\pi \left[ 9 \ln(2) - 10 \ln(3) - (9 \ln(1) - 10 \ln(2)) \right] \] \[ V = 20\pi \left[ 19 \ln(2) - 10 \ln(3) \right] \] ### Resultado Final El volumen del sólido de revolución es: \[ V = 20\pi \left( 19 \ln 2 - 10 \ln 3 \right) \]