- Graficar $$ f(x) $$ - Aproximar la solución de la ecuación $$ f(x)=0 $$ utilizando tres iteraciones con el método de la bisección o la regla falsa. - Utilizar el método de Newton-Raphson para aproximar la solución de la ecuación $$ f(x)=0 $$ con la tolerancia $$ \left|f\left(x_{i+1}\right)\right|

Question

- Graficar $$ f(x) $$ - Aproximar la solución de la ecuación $$ f(x)=0 $$ utilizando tres iteraciones con el método de la bisección o la regla falsa. - Utilizar el método de Newton-Raphson para aproximar la solución de la ecuación $$ f(x)=0 $$ con la tolerancia $$ \left|f\left(x_{i+1}\right)\right|<10^{-5} $$ (d) $$ e^{x}-x^{2}+3 x-2=0 $$

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1. Sea la función $$ f(x)=e^x - x^2 + 3x - 2. $$ 2. Gráfica de $$ f(x) $$: La función es continua y está compuesta por la exponencial, un polinomio cuadrático y términos lineales. Para visualizarla se puede trazar en un intervalo, por ejemplo, $$ x\in [-2, 4] $$, donde se observa que la función cruza el eje $$ x $$ (es decir, $$ f(x)=0 $$), indicando la existencia de al menos una raíz. 3. Aproximación por el método de la bisección (tres iteraciones): - Primero, se elige un intervalo $$[a,b]$$ tal que $$ f(a)\cdot f(b)<0 $$. Se observa que: $$ f(0)=e^0 - 0^2 + 3\cdot 0 - 2=1-2=-1, $$ $$ f(1)=e^1 - 1^2 + 3\cdot 1 -2 \approx 2.718 - 1 + 3 - 2 =2.718, $$ por lo que existe un cambio de signo entre $$ x=0 $$ y $$ x=1 $$; es decir, hay una raíz en $$[0,1]$$. - **Primera iteración:** Se toma el punto medio: $$ c_1=\frac{0+1}{2}=0.5. $$ Se calcula $$ f(0.5)=e^{0.5}-0.5^2+3\cdot0.5-2\approx 1.6487 - 0.25 + 1.5 -2\approx 0.8987. $$ Como $$ f(0.5)>0 $$ y $$ f(0)<0 $$, la raíz se encuentra en el intervalo $$[0,0.5]$$. - **Segunda iteración:** Se toma el nuevo punto medio: $$ c_2=\frac{0+0.5}{2}=0.25. $$ Se calcula $$ f(0.25)=e^{0.25}-0.25^2+3\cdot0.25-2\approx 1.2840 - 0.0625 + 0.75 -2\approx -0.0285. $$ Ahora, $$ f(0.25)<0 $$ y $$ f(0.5)>0 $$, por lo que la raíz está en el intervalo $$[0.25,0.5]$$. - **Tercera iteración:** Se calcula el punto medio del intervalo $$[0.25,0.5]$$: $$ c_3=\frac{0.25+0.5}{2}=0.375. $$ Se obtiene $$ f(0.375)=e^{0.375}-0.375^2+3\cdot0.375-2\approx 1.455 - 0.1406 + 1.125 -2\approx 0.4394. $$ Con $$ f(0.375)>0 $$ y $$ f(0.25)<0 $$, la raíz se halla en $$[0.25,0.375]$$. Después de tres iteraciones, la aproximación de la raíz está en el intervalo $$[0.25,0.375]$$. 4. Aproximación por el método de Newton-Raphson: Se requiere aproximar la solución de $$ f(x)=0 $$ con la tolerancia $$ \left|f\left(x_{i+1}\right)\right|<10^{-5}. $$ La fórmula de Newton-Raphson es $$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, $$ donde la derivada es $$ f'(x)=e^x-2x+3. $$ Se escoge como valor inicial $$x_0=0.3$$ (dado que se encuentra en el intervalo aproximado $$[0.25,0.375]$$). - **Primera iteración:** Calcular $$ f(0.3) $$ y $$ f'(0.3) $$: $$ f(0.3)=e^{0.3}-0.3^2+3\cdot0.3-2\approx 1.3499-0.09+0.9-2\approx 0.1599, $$ $$ f'(0.3)=e^{0.3}-2\cdot0.3+3\approx 1.3499-0.6+3\approx 3.7499. $$ Entonces, $$ x_1=0.3-\frac{0.1599}{3.7499}\approx 0.3-0.0426\approx 0.2574. $$ - **Segunda iteración:** Calcular $$ f(0.2574) $$ y $$ f'(0.2574) $$: Se tiene: $$ e^{0.2574}\approx 1.2940,\quad (0.2574)^2\approx 0.0663,\quad 3\cdot0.2574\approx 0.7722. $$ Así, $$ f(0.2574)=1.2940 - 0.0663+0.7722-2\approx -0.0001, $$ y $$ f'(0.2574)=1.2940-2\cdot0.2574+3\approx 1.2940-0.5148+3\approx 3.7792. $$ Entonces, $$ x_2=0.2574-\frac{-0.0001}{3.7792}\approx 0.2574+0.00003\approx 0.25743. $$ Como $$ \left|f(0.25743)\right|<10^{-5}, $$ se cumple la condición de tolerancia. 5. Resultado: La raíz aproximada de la ecuación $$ e^x-x^2+3x-2=0 $$ es $$ x\approx 0.25743. $$ Para la ecuación $$ e^x - x^2 + 3x - 2 = 0 $$: 1. **Gráfica de $$ f(x) $$:** La función cruza el eje $$ x $$ entre $$ x = 0 $$ y $$ x = 1 $$, indicando una raíz en ese intervalo. 2. **Método de la Bisección (3 iteraciones):** - **Iteración 1:** Raíz en $$[0, 0.5]$$. - **Iteración 2:** Raíz en $$[0.25, 0.5]$$. - **Iteración 3:** Raíz en $$[0.25, 0.375]$$. 3. **Método de Newton-Raphson:** - **Iteración 1:** $$ x_1 \approx 0.2574 $$. - **Iteración 2:** $$ x_2 \approx 0.25743 $$. - La raíz aproximada es $$ x \approx 0.25743 $$, con $$ |f(x_2)| < 10^{-5} $$. **Resultado:** La solución de la ecuación es aproximadamente $$ x = 0.25743 $$.

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