ea \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) una función que tiene a \( p(x, y)=-2 x+y+1 \) como polinomio de Taylor rimer orden en \( (0,1) \). \[ g(-2,0)=(0,1) \quad \text { y } \quad D g_{(-2,0)}=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\ a & 1\end{array}\right), \quad a \in \mathbb{R} \] sumamos que \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) es una función de tipo \( C^{1} \) tal que eterminar el valor de \( a \) de modo que \( \frac{\partial(f \circ g)}{\partial \mathbf{v}}(-2,0)=-6 \) siendo \( \mathbf{v}=(1,-1) \)

Para resolver este enigma, recordemos que la función \( f \) tiene su polinomio de Taylor de primer orden en \( (0,1) \) como \( p(x, y) = -2x + y + 1 \). Esto implica que la derivada parcial de \( f \) respecto a \( x \) en \( (0, 1) \) es \( -2 \) y la derivada parcial respecto a \( y \) es \( 1 \). Ahora, usando la regla de la cadena, la derivada direccional de \( f \circ g \) en el punto \( (-2,0) \) se puede calcular como: \[ \frac{\partial(f \circ g)}{\partial \mathbf{v}}(-2,0) = \nabla f(g(-2,0)) \cdot Dg_{(-2,0)} \cdot \mathbf{v} \] Evaluamos cada parte: 1. \( g(-2,0) = (0,1) \) 2. \( \nabla f(0,1) = (-2, 1) \) (derivadas parciales en \( (0, 1) \)) 3. La matriz Jacobiana es \( Dg_{(-2,0)} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ a & 1 \end{pmatrix} \) 4. \( \mathbf{v} = (1,-1) \) Ahora, calculamos la multiplicación: Primero calculamos \( Dg_{(-2,0)} \cdot \mathbf{v} \): \[ Dg_{(-2,0)} \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \\ a - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ a - 1 \end{pmatrix} \] Luego, aplicamos \( \nabla f \): \[ \nabla f(g(-2,0)) \cdot Dg_{(-2,0)} \cdot \mathbf{v} = (-2, 1) \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ a - 1 \end{pmatrix} = -2 \cdot 5 + 1 \cdot (a - 1) = -10 + a - 1 = a - 11 \] Igualamos esto a \( -6 \): \[ a - 11 = -6 \implies a = 5 \] Por lo tanto, el valor de \( a \) es \( 5 \).