\( ( \frac { 0 } { 1 ! } + \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \frac { 3 } { 4 ! } + \ldots + \frac { 6 } { 7 ! } ) + \frac { 6 ! } { 2 } \)

För att lösa uttrycket \( ( \frac { 0 } { 1 ! } + \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 2 } { 3 ! } + \frac { 3 } { 4 ! } + \ldots + \frac { 6 } { 7 ! } ) + \frac { 6 ! } { 2 } \), börjar vi med att beräkna summan inom parentesen. Vi kan skriva om summan: \[ \sum_{n=0}^{6} \frac{n}{(n+1)!} \] Vi kan förenkla varje term \( \frac{n}{(n+1)!} \) till \( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \) genom att använda identiteten \( n = (n+1) - 1 \): \[ \frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \] Därför kan vi skriva om summan: \[ \sum_{n=0}^{6} \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right) \] Detta är en teleskopisk summa, vilket innebär att de flesta termerna kommer att ta ut varandra. När vi skriver ut några av termerna ser vi att: \[ \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} \right) + \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} \right) \] Detta förenklas till: \[ \frac{1}{0!} - \frac{1}{7!} = 1 - \frac{1}{5040} \] Så summan blir: \[ 1 - \frac{1}{5040} = \frac{5040 - 1}{5040} = \frac{5039}{5040} \] Nu lägger vi till \( \frac{6!}{2} \): \[ \frac{6!}{2} = \frac{720}{2} = 360 \] Så vi har: \[ \frac{5039}{5040} + 360 \] För att addera dessa två termer, omvandlar vi \( 360 \) till en bråkform med nämnaren \( 5040 \): \[ 360 = \frac{360 \times 5040}{5040} = \frac{1814400}{5040} \] Nu kan vi addera: \[ \frac{5039}{5040} + \frac{1814400}{5040} = \frac{5039 + 1814400}{5040} = \frac{1819439}{5040} \] Så det slutliga svaret är: \[ \frac{1819439}{5040} \]