3a questão: Calcule a geratriz de cada dízima periódica abaixo: ( cálculos obrigatórios ) \( \begin{array}{ll}\text { a) } 0,111 \ldots & \text { h) } 3,125125 \ldots \\ \text { b) } 0,121212 \ldots & \text { i) } 1,777 \ldots \\ \text { c) } 0,222 \ldots & \text { j) } 1,333 \ldots \\ \text { d) } 0,444 \ldots & \text { k) } 3,454545 \ldots \\ \text { e) } 0,333 \ldots & \text { l) } 1,555 \ldots \\ \text { f) } 0,232323 \ldots & \text { n) } 3,888 \ldots \\ \text { g) } 0,353535 \ldots & \\ \end{array} \)

Para calcular a geratriz de cada dízima periódica, vamos seguir um passo a passo para cada caso. A geratriz de uma dízima periódica é uma fração que representa o número decimal. Vamos usar a notação \( x \) para representar a dízima periódica e resolver a equação para encontrar a fração correspondente. ### a) \( 0,111 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,111 \ldots \] 2. **Multiplicando por 10**: \[ 10x = 1,111 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 10x - x = 1,111 \ldots - 0,111 \ldots \] \[ 9x = 1 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{1}{9} \] ### b) \( 0,121212 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,121212 \ldots \] 2. **Multiplicando por 100**: \[ 100x = 12,121212 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 100x - x = 12,121212 \ldots - 0,121212 \ldots \] \[ 99x = 12 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \] ### c) \( 0,222 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,222 \ldots \] 2. **Multiplicando por 10**: \[ 10x = 2,222 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 10x - x = 2,222 \ldots - 0,222 \ldots \] \[ 9x = 2 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{2}{9} \] ### d) \( 0,444 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,444 \ldots \] 2. **Multiplicando por 10**: \[ 10x = 4,444 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 10x - x = 4,444 \ldots - 0,444 \ldots \] \[ 9x = 4 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{4}{9} \] ### e) \( 0,333 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,333 \ldots \] 2. **Multiplicando por 10**: \[ 10x = 3,333 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 10x - x = 3,333 \ldots - 0,333 \ldots \] \[ 9x = 3 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] ### f) \( 0,232323 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,232323 \ldots \] 2. **Multiplicando por 100**: \[ 100x = 23,232323 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 100x - x = 23,232323 \ldots - 0,232323 \ldots \] \[ 99x = 23 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{23}{99} \] ### g) \( 0,353535 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 0,353535 \ldots \] 2. **Multiplicando por 100**: \[ 100x = 35,353535 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 100x - x = 35,353535 \ldots - 0,353535 \ldots \] \[ 99x = 35 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{35}{99} \] ### h) \( 3,125125 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 3,125125 \ldots \] 2. **Multiplicando por 1000**: \[ 1000x = 3125,125125 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 1000x - x = 3125,125125 \ldots - 3,125125 \ldots \] \[ 999x = 3122 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{3122}{999} \] ### i) \( 1,777 \ldots \) 1. **Definindo \( x \)**: \[ x = 1,777 \ldots \] 2. **Multiplicando por 10**: \[ 10x = 17,777 \ldots \] 3. **Subtraindo as duas equações**: \[ 10x - x = 17,777 \ldots - 1,777 \ldots \] \[ 9x = 16 \] 4. **Resolvendo para \( x \)**: \[ x = \frac{16}{9}