El área bajo la curva de la función \( g(x)=(x-2)(4 x+1) \) en el intervalo \( [2,4] \) es igual a:

1. Expandir la función: \[ g(x) = (x-2)(4x+1) = 4x^2 + x - 8x - 2 = 4x^2 - 7x - 2. \] 2. Calcular la integral definida que representa el área bajo la curva en el intervalo \([2,4]\): \[ \text{Área} = \int_{2}^{4} (4x^2 - 7x - 2)\,dx. \] 3. Encontrar la integral indefinida: \[ \int (4x^2 - 7x - 2)\,dx = \frac{4}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 2x + C. \] 4. Evaluar la integral en los extremos del intervalo: - Para \(x=4\): \[ F(4) = \frac{4}{3}(4)^3 - \frac{7}{2}(4)^2 - 2(4) = \frac{4}{3}(64) - \frac{7}{2}(16) - 8 = \frac{256}{3} - 56 - 8. \] Como \(56+8 = 64\) y \(64 = \frac{192}{3}\), obtenemos: \[ F(4) = \frac{256 - 192}{3} = \frac{64}{3}. \] - Para \(x=2\): \[ F(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - \frac{7}{2}(2)^2 - 2(2) = \frac{4}{3}(8) - \frac{7}{2}(4) - 4 = \frac{32}{3} - 14 - 4. \] Como \(14+4 = 18\) y \(18 = \frac{54}{3}\), obtenemos: \[ F(2) = \frac{32 - 54}{3} = -\frac{22}{3}. \] 5. Calcular el valor de la integral definida: \[ \text{Área} = F(4) - F(2) = \frac{64}{3} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{64 + 22}{3} = \frac{86}{3}. \] La área bajo la curva en el intervalo \([2,4]\) es, por tanto, \[ \boxed{\frac{86}{3}}. \]