4. Una fábrica posee una capacidad de producción de 250 artículos por semana. La experiencia muestra que el precio \( p \) en función del número de artículos \( q \) está dado por \( p=100-2 q \). Si el costo de producción de \( q \) artículos es \( C(q)=600+10 q+q^{2} \). a) [ 6 puntos ¿Cuántos artículos deben fabricarse cada semana para obtener una utilidad máxima?

Para maximizar la utilidad, primero necesitamos determinar la función de utilidad \( U(q) \). La utilidad se obtiene restando los costos de los ingresos. Los ingresos \( R \) se calculan como \( R = p \cdot q = (100 - 2q)q = 100q - 2q^2 \). Ahora, la utilidad será: \( U(q) = R - C(q) = (100q - 2q^2) - (600 + 10q + q^2) = 90q - 3q^2 - 600 \). Para maximizar la utilidad, derivamos \( U(q) \) con respecto a \( q \) y establecemos la derivada igual a cero: \( U'(q) = 90 - 6q = 0 \). Resolviendo para \( q \), encontramos \( q = 15 \). b) [ 2 puntos ¿Cuál es la utilidad máxima obtenida?] Sustituyendo \( q = 15 \) en la función de utilidad: \( U(15) = 90(15) - 3(15^2) - 600 = 1350 - 675 - 600 = 75 \). Así que la utilidad máxima obtenida es de 75 unidades monetarias.