Un quimico está analizando la concentración de una sustancia en diferentes muestras de agua. Cada muestra contiene una cantidad especilica de la sustancia expresada en forma de radicales: $$ \sqrt[2]{54}+\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{162}-\sqrt[3]{250} $$ Para facilitar el análisis, el químico debe simpilificar la expresión sumando y restando los términos semejantes. ¿Cual de las siguientes expresiones requesenta correctamente lo concentraclón total simplificada?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Simplificar cada término:

- $$\sqrt{54}$$:  
     Se puede factorizar:  
     $$
     54 = 9 \times 6 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{54} = \sqrt{9\times6} = \sqrt{9}\sqrt{6} = 3\sqrt{6}
     $$

- $$\sqrt[3]{128}$$:  
     Se nota que:  
     $$
     128 = 64 \times 2 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \times 2} = \sqrt[3]{64}\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}
     $$

- $$\sqrt[3]{16}$$:  
     Se tiene:  
     $$
     16 = 8 \times 2 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}
     $$

- $$\sqrt[3]{162}$$:  
     Se escribe:  
     $$
     162 = 27 \times 6 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt[3]{162} = \sqrt[3]{27 \times 6} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{6} = 3\sqrt[3]{6}
     $$

- $$\sqrt[3]{250}$$:  
     Se observa:  
     $$
     250 = 125 \times 2 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \times 2} = \sqrt[3]{125}\sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}
     $$

2. Sustituir en la expresión original:

$$
   \sqrt{54}+\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{162}-\sqrt[3]{250} = 3\sqrt{6} + 4\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{6} - 5\sqrt[3]{2}
   $$

3. Agrupar términos semejantes:

- Términos con $$\sqrt{6}$$:  
     $$
     3\sqrt{6}
     $$
   
   - Términos con $$\sqrt[3]{6}$$:  
     $$
     3\sqrt[3]{6}
     $$
   
   - Términos con $$\sqrt[3]{2}$$:  
     $$
     4\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} = (4-2-5)\sqrt[3]{2} = -3\sqrt[3]{2}
     $$

4. Escribir la expresión final:

$$
   3\sqrt{6} + 3\sqrt[3]{6} - 3\sqrt[3]{2} = 3\left(\sqrt{6} + \sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{2}\right)
   $$

La concentración total simplificada es:

$$
3\left(\sqrt{6} + \sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{2}\right)
$$
La concentración total simplificada es $$ 3\left(\sqrt{6} + \sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{2}\right) $$.

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