\( \varphi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \) Penulisan system koordinat polar adalah \( r<\varphi \) Sebaliknya, untuk mengkonversi dari system koordinat polar menuju system koordinat cartesian seperti pada persamaan berikut: \[ \begin{array}{l} x=r \cdot \cos (\varphi) \\ y=r \cdot \sin (\varphi) \end{array} \] Untuk operasi penjumlahan dan pengurangan harus diubah ke system koordinat cartesian. Sedangkan untuk operasi perkalian dan pembagian dapat dilakukan dengan sangat mudah. Misal \( A=4 \angle 60^{\circ} \) dan \( B=2 \angle 20^{\circ} \) Perkalian: \( A \cdot B=\left(4 \angle 60^{\circ}\right) \cdot\left(2 \angle 20^{\circ}\right) \) Dalam proses perkalian, jari-jari (r) dikalikan, sedangkan sudut \( (\varphi) \) dijumlahkan. \( A \cdot B=(4.2) \angle\left(60^{\circ}+20^{\circ}\right) \) A. \( B=8 \angle 80^{\circ} \) Pembagian: \[ \frac{A}{B}=\frac{4 \angle 60^{\circ}}{2 \angle 20^{\circ}} \] Dalam proses pembagian, jari-jari ( \( r \) ) dibagi seperti biasa, sedangkan sudut \( (\varphi) \) pembilangdikurangi sudut penyebut. \[ \begin{array}{l} \frac{A}{B}=\frac{4}{2} \angle\left(60^{\circ}-20^{\circ}\right) \\ \frac{A}{B}=2 \angle 40^{\circ} \end{array} \] Tugas 1. (harus diseertai dengan cara) 1. Tentukan hasil dari \( \sqrt{-13.69} \) Diketahui \( A=1.5+0.5 i \) dan \( B=1+2.5 i \), maka tentukan: 2. \( A+B \) 3. \( A-B \) 4. \( A * B \) 5. \( \frac{A}{B} \) 6. \( \frac{A^{2}-A B}{B} \) 7. Bentuk polar A 8. Bentuk polar \( B \) 9. \( A * B \) dengan cara polar 10. \( \frac{A}{B} \) dengan cara polar 11. Bentuk cartesian dari jawaban no. 9 dan bandinglan hasilnya dengan jawaban no. 4 12. Bentuk cartesian dari jawaban no. 10 dan bandingkan hasilnya dengan jawaban no.5. Materi selanjutnya -> Euler dan Teorema de Moivre.

Mari kita selesaikan tugas satu per satu. ### 1. Tentukan hasil dari \( \sqrt{-13.69} \) Untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif, kita dapat menggunakan bilangan imajiner. Kita tahu bahwa: \[ \sqrt{-a} = i \sqrt{a} \] Jadi, kita akan menghitung: \[ \sqrt{-13.69} = i \sqrt{13.69} \] Mari kita hitung \( \sqrt{13.69} \): \[ \sqrt{13.69} = 3.7 \] Sehingga: \[ \sqrt{-13.69} = 3.7i \] ### 2. \( A + B \) Diberikan \( A = 1.5 + 0.5i \) dan \( B = 1 + 2.5i \). Kita dapat menjumlahkan kedua bilangan kompleks ini: \[ A + B = (1.5 + 0.5i) + (1 + 2.5i) = (1.5 + 1) + (0.5 + 2.5)i = 2.5 + 3i \] ### 3. \( A - B \) Sekarang kita akan mengurangkan \( B \) dari \( A \): \[ A - B = (1.5 + 0.5i) - (1 + 2.5i) = (1.5 - 1) + (0.5 - 2.5)i = 0.5 - 2i \] ### 4. \( A \cdot B \) Untuk mengalikan \( A \) dan \( B \): \[ A \cdot B = (1.5 + 0.5i)(1 + 2.5i) \] Mari kita hitung hasilnya: \[ = 1.5 \cdot 1 + 1.5 \cdot 2.5i + 0.5i \cdot 1 + 0.5i \cdot 2.5i \] \[ = 1.5 + 3.75i + 0.5i - 1.25 \] \[ = (1.5 - 1.25) + (3.75 + 0.5)i = 0.25 + 4.25i \] ### 5. \( \frac{A}{B} \) Untuk membagi \( A \) dengan \( B \): \[ \frac{A}{B} = \frac{1.5 + 0.5i}{1 + 2.5i} \] Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut: \[ = \frac{(1.5 + 0.5i)(1 - 2.5i)}{(1 + 2.5i)(1 - 2.5i)} \] Hitung penyebut: \[ = 1 - (2.5i) + (2.5i) - (0.5)(2.5)(i^2) = 1 + 1.25 = 2.25 \] Hitung pembilang: \[ = 1.5 - 3.75i + 0.5i + 1.25 = 2.75 - 3.25i \] Sehingga: \[ \frac{A}{B} = \frac{2.75 - 3.25i}{2.25} = \frac{2.75}{2.25} - \frac{3.25}{2.25}i \approx 1.222 - 1.444i \] ### 6. \( \frac{A^2 - AB}{B} \) Pertama, kita hitung \( A^2 \) dan \( AB \): \[ A^2 = (1.5 + 0.5i)^2 = 1.5^2 + 2(1.5)(0.5i) + (0.5i)^2 = 2.25 + 1.5i - 0.25 = 2 + 1.5i \] Kita sudah menghitung \( A \cdot B = 0.25 + 4.25i \). Sekarang kita hitung \( A^2 - AB \): \[ A^2 - AB = (2 + 1.5i) - (0.25 + 4.25i) = 2 - 0.25 + (1.5 - 4.25)i = 1.75 - 2.75i \] Kemudian kita bagi dengan \( B \): \[ \frac{A^2 - AB}{B} = \frac{1.75 - 2.75i}{1 + 2.5i} \] Kita kalikan dengan konjugat: \[ = \frac{(1.75 - 2.75i)(1 - 2.5i)}{(1 + 2.5i)(1 - 2.5i)} \] Hitung penyebut: \[ = 1 + 6.25 = 7.25 \] Hitung pembilang: \[ = 1.75 - 4.375i - 2.75i + 6.875 = 8.625 - 7.125i \] Sehingga: \[ \frac{A^2 - AB}{B} = \frac{8.625 - 7.125i}{7.25} \approx 1.188 - 0.983i \] ### 7. Bentuk polar A Untuk mengubah \( A \) ke bentuk polar, kita hitung \( r \) dan \( \varphi \): \[ r_A = \sqrt{1.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{2.25 + 0.25} = \sqrt{2.5} \approx 1.581 \] \[ \varphi_A = \arctan\left(\frac{0.5}{1.5}\right) \approx 18.43^{\circ} \] ### 8. Bentuk polar B Untuk \( B \): \[ r_B = \sqrt{1^2 + 2.5^2} = \sqrt{1 + 6.25} = \sqrt{7.25} \approx 2.692 \] \[ \varphi_B = \arctan\left(\frac{2.5}{1}\right) \approx 68.20^{\circ} \] ### 9. \( A \cdot B \) dengan cara polar Dari hasil sebelumnya: \[ A \cdot B = (1.581)(2.692) \angle (18.43^{