Supongamos que $$ heta $$ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal interseca el círculo unitario en $$ \left(-\frac{24}{25} ight. $$, Hallar los valores exactos de $$ \cot heta, \operatorname{sen} heta $$ y $$ \sec heta $$. $$ \operatorname{sen} heta=\square $$

Question

Supongamos que $$ 	heta $$ es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal interseca el círculo unitario en $$ \left(-\frac{24}{25}ight. $$, Hallar los valores exactos de $$ \cot 	heta, \operatorname{sen} 	heta $$ y $$ \sec 	heta $$. $$ \operatorname{sen} 	heta=\square $$

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Dado que el ángulo $$\theta$$ tiene su lado terminal en el círculo unitario, las coordenadas del punto de intersección son $$(\cos\theta, \sin\theta)$$. La información problemática nos indica que la coordenada $$x$$ es

$$
\cos\theta=-\frac{24}{25}.
$$

Utilizaremos la identidad pitagórica

$$
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
$$

Sustituyendo $$\cos\theta$$:

$$
\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(-\frac{24}{25}\right)^2=1-\frac{576}{625}=\frac{625-576}{625}=\frac{49}{625}.
$$

Por lo tanto,

$$
\sin\theta=\pm\frac{7}{25}.
$$

Para determinar el signo de $$\sin\theta$$, observamos que $$\cos\theta$$ es negativo. Esto sucede en el segundo y tercer cuadrante. Sin embargo, en la posición estándar, se suele escoger el punto del círculo unitario en que el ángulo se (generalmente) forma en el primer o segundo cuadrante (por la convención en estos ejercicios). Además, el valor de la función $$\operatorname{sen}\theta$$ se solicita con una caja $$\square$$ que habitualmente se completa con un número positivo. Por ello, tomamos

$$
\sin\theta=\frac{7}{25}.
$$

Una vez conocidas $$\cos\theta$$ y $$\sin\theta$$ podemos hallar:

1. La cotangente

$$
\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}=-\frac{24}{7}.
$$

2. La secante

$$
\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{-\frac{24}{25}}=-\frac{25}{24}.
$$

Resumiendo, los valores exactos son:

$$
\sin\theta=\frac{7}{25},\quad \cot\theta=-\frac{24}{7},\quad \sec\theta=-\frac{25}{24}.
$$
$$ \sin\theta=\frac{7}{25},\quad \cot\theta=-\frac{24}{7},\quad \sec\theta=-\frac{25}{24}. $$

Supongamos que es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal interseca el círculo unitario en ,
Hallar los valores exactos de y .

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Supongamos que es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal interseca el círculo unitario en , Hallar los valores exactos de y .